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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1984}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par :

\begin{center} $f(x) = (3x - 1)^2 - 5(2 - x) (3x - 1) + 9x^2 - 1$ \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit.
\item Calculer $f\left(\dfrac13\right),\:f\left(\sqrt 2\right),\:f\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$ ;
		\item $f(x) = 10$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système suivant : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x - y + 8 &=& 0\\
3x - y - 8 &=& 0
\end{array}\right.\]

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} tracer les droites : 

$D$ d'équation : $2x - y + 8= 0$
et $D'$ d'équation : $3x - y - 8 = 0$.

Vérifier graphiquement les résultats de la question précédente (On choisira sur chacun des axes le quart d'un centimètre pour unité).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Xavier dit à son père: \og Dans huit ans j'aurai la moitié de ton âge \fg. 
		
Son père lui répond: \og II y a quatre ans j'avais trois fois ton âge \fg. 

Traduire les données précédentes par un système de deux équations.
		\item En déduire les âges respectifs de Xavier et de son père.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

L'unité de longueur adoptée est le centimètre.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points : 

\begin{center}A$(- 1~;~- 2)$,\qquad B (5~;~1)\quad  et \quad C$(- 3~;~2)$.\end{center}

(Faire une figure soignée).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle (A,B,C) est rectangle en A.
\item I étant le milieu du segment [BC], calculer les coordonnées du point I.
\item Quelles sont les coordonnées du point D tel que (A, C, D, B) soit un parallélogramme ?
\item Montrer que I est le centre d'un cercle passant par A, B, C et D. 

Calculer le rayon de ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}