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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Clermont }
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous la forme d'une fraction la plus simple possible :

\[A = \dfrac32 - \dfrac52 \times \dfrac{3}{10} \quad ;\quad  B = \left(\dfrac35 \right)^2 : \dfrac{9}{20}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(3 x - 11)(3 x + 7) = 0$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $x= \sqrt{72}$ et $y= \sqrt{98}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $x$ et $y$ sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ et $b$ entiers, $a$ étant le plus
grand entier possible.
\item Écrire sous la forme la plus simple possible $x^2 - y^2$ et $x + y$.
\end{enumerate}

%\begin{enumerate}
%\item
%\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Ne pas refaire la figure.

ABCD est un rectangle ; l'unité de longueur est le centimètre.

On a : AE = AD $= 3$ et EB $= x$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le périmètre de ABCD en fonction de $x$.
\item Trouver $x$ pour que le périmètre de ABCD soit égal à 20.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(5.5,2.9)
\psline(2.85,2.8)(2.85,3)\uput[u](2.9,2.9){E}
\rput(1.425,2.9){$\bullet$}\rput(0.2,1.55){$\bullet$}
\uput[ul](0.2,2.9){A} \uput[ur](5.5,2.9){B} \uput[dr](5.5,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}La figure ne doit pas être reproduite.

L'unité de longueur est le centimètre.

%fig

Le triangle ABC est tel que : 

\begin{center}AB $= 5,25$ ;\quad BC $= 8,75$ ;\quad  AC $= 7$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit E le point du segment [AC] tel que EC = 4.
		
Calculer AE.
		\item La parallèle à (AB) passant par E coupe [BC] en F{}.
		
Calculer EF.
	\end{enumerate}
\item La parallèle à (AC) passant par F coupe [AB] en G. Quelle est la nature du quadrilatère AEFG ? (On donnera la réponse la plus précise possible en la justifiant.)
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,2.9)(0.5,0.2)(3.5,2.9)%ABC
\uput[ul](0.5,2.9){A} \uput[l](0.5,0.2){B} \uput[r](3.5,2.9){C}\uput[dr](2,1.55){F}
\uput[ul](0.5,1.55){G}
\psline(0,1.55)(2.2,1.55)
\psline(2,3.1)(2,0.8)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), l'unité étant le centimètre, on considère les points :

\begin{center}A(2~;~3) ;\quad  B(5~;~6) ;\quad  C(7~;~4) ;\quad  D(4~;~1).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure sur papier millimétré.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$ et celles du vecteur $\vect{\text{DC}}$ ; en déduire la nature du quadrilatère ABCD.
\item Calculer AC et BD.
\item Démontrer que ABCD est un rectangle. (On pourra utiliser les résultats obtenus en 3.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

On considère un triangle isocèle SBC tel que : SB = SC = 5, \quad  BC = 6.

La hauteur issue de S coupe le segment [BC] en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera dans la question 4.
\item Démontrer que SI $= 4$.
\item Calculer l'aire, en cm$^2$, du triangle SBC.
\item On note I$'$ le point du segment [SI] tel que : SI$'= \dfrac14$ SI.

Par I$'$, on trace la parallèle à la droite (BC) ; elle coupe les droites (SB) et (SC) respectivement en B$'$ et C$'$. 

Le triangle SB$'$C$'$ est donc une réduction du triangle SBC.

$\bullet~~$Préciser le rapport de réduction des longueurs. (On donnera le résultat sans explication.)

$\bullet~~$En déduire l'aire, en cm$^2$, du triangle SB$'$C$'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On considère une pyramide régulière SABCD de sommet S et à base carrée telle que :

AB = 6, \quad SB = 5.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.2)(2.2,2.9)
%\psgrid
\psline(0,2.7)(-2.2,-1.2)(1,-1.2)(2.2,1.2)(0,2.7)(1,-1.2)%SABCSB
\psline(0,2.7)(-1,1.2)(-2.2,-1.2)%SDA
\psline[linestyle=dashed](2.2,1.2)(-1,1.2)%ACD
\psline[linestyle=dashed](0,2.7)(0,0)(1,-1.2)%SH
\psline(0,0.24)(0.18,0.01)(0.18,-0.2)
\uput[dl](-2.2,-1.2){A} \uput[dr](1,-1.2){B} \uput[r](2.2,1.2){C}
\uput[l](-1,1.2){D} \uput[d](0,0){H} \uput[u](0,2.7){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

La hauteur de la pyramide est [SH].

On fera les deux figures demandées dans cette partie sur une même feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer, en vraie grandeur, la base ABCD de la pyramide et placer précisément le point H sur le dessin.
\item Tracer, en vraie grandeur (sans calculer HB mais en utilisant la figure précédente), le triangle SHB rectangle en H.
\item Quelle est la nature du triangle SBC ? (On précisera les longueurs de ses côtés.)
\item On note I le pied de la hauteur issue de S du triangle SBC et H$'$ le
point du segment[SH] tel que : SH$'= \dfrac14$SH.

On note A$'$, B$'$, C$'$, D$'$, I$'$ les points d'intersection des droites (SA), (SB), (SC), (SD) et (SI) avec le plan passant pat H$'$ et parallèle au plan de la base ABCD de la pyramide.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.2)(2.2,3)
%\psgrid
\psline(0,2.7)(-2.2,-1.2)(1,-1.2)(2.2,1.2)(0,2.7)(1,-1.2)%SABCSB
\psline(0,2.7)(-1,1.2)(-2.2,-1.2)%SDA
\psline[linestyle=dashed](2.2,1.2)(-1,1.2)%ACD
\psline[linestyle=dashed](0,2.7)(0,0)(1,-1.2)%SH
\psline(0,0.24)(0.18,0.01)(0.18,-0.2)
\uput[dl](-2.2,-1.2){A} \uput[dr](1,-1.2){B} \uput[r](2.2,1.2){C}
\uput[l](-1,1.2){D} \uput[d](0,0){H} \uput[u](0,2.7){S}
\uput[u](1.6,0){I}\uput[r](0.42,1.97){I$'$}
\psline(-0.6,1.6)(0.28,1.6)(0.6,2.27)%A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](-0.6,1.6)(-0.28,2.27)(0.6,2.27)%A'D'C'
\psline(0,2.7)(1.6,0)%SI
\uput[l](-0.6,1.6){A$'$}\uput[dr](0.28,1.6){B$'$}\uput[ur](0.6,2.27){C$'$}
\uput[ul](-0.28,2.27){D$'$}\uput[l](0,1.935){H$'$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](0,1.935)
\psline(1.46,0.2)(1.38,0.02)(1.5,-0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère A$'$B$'$C$'$D$'$ ? (On précisera les longueurs de ses côtés.)
		\item Le triangle SBC est le triangle décrit dans la première partie et on a SI$' = \dfrac14$ SI.
		
Calculer, en utilisant les résultats de la première partie, l'aire, en cm$^2$, du trapèze BB$'$C$'$C.
		\item En déduire l'aire latérale, en cm$^2$, de la partie tronquée de la pyramide comprise entre les plans parallèles ABCD et A$'$B$'$C$'$D$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}