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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand  juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

Les quatre exercices sont indépendants.

Les détails des calculs doivent figurer sur la copie.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous la forme d'une fraction, la plus simple possible, chacun des nombres suivants :

\[A = 1 - \dfrac54 \times \dfrac{2}{15} \qquad B=6 - 4\left(\dfrac14 - 1\right)^2\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer le nombre suivant et donner le résultat sous la forme $a \times 10^n$ ,$a$ et $n$ étant des nombres entiers relatifs :

\[C = \dfrac{7 \times10^{-12} \times 4\times 10^5}{2 \times 10^{-4}}\]

Donner ensuite l'écriture décimale de $C$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression $D = (2 x + 3)^2 - ( x - 4)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Écrire $D$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Calculer $D$ pour $x = 3$. (On donnera la valeur exacte du résultat sous la forme $a + b \sqrt 3$, avec $a$ et $b$ entiers.)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2 y &=& 27\\
2x + 3y& =& 25,5
\end{array}\right.$
\item Pierre vient de commander 3 pains au chocolat et 2 croissants à la boulangerie. Pour cet achat, il a payé $27$~francs. Soudain il se ravise et dit au boulanger :

-- Excusez-moi, je me suis trompé, c'était le contraire. Pouvez-vous me donner un pain au chocolat de moins et un croissant de plus ?

-- Bien sûr, répond le boulanger.

Il fait l'échange et rend $1,50$ franc à Pierre.

Trouver, en justifiant la réponse, le prix d'un pain au chocolat et celui d'un croissant.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la figure ci-après, on a mis en place un triangle BDS ainsi que le
milieu I du segment [SD]. Les constructions demandées dans cet exercice seront faites sur cette figure.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(8,6)
%\psgrid
\pspolygon(0.4,1.3)(7.8,0.5)(3.5,5.8)%SDB
\psdots(4.1,0.9)
\uput[l](0.4,1.3){S} \uput[r](7.8,0.5){D} \uput[u](3.5,5.8){B}\uput[d](4.1,0.9){I}
\rput{40}(2.25,1.1){\psline(-0.25,0)(0.25,0)}
\rput{40}(5.95,0.7){\psline(-0.25,0)(0.25,0)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point H, symétrique du point B par rapport à I.
		\item Démontrer que HD = SB .
	\end{enumerate}
\item Construire le point R, image du point D dans la translation de vecteur
$\vect{\text{SB}}$.
\item Démontrer que le point D est le milieu du segment [HR].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un segment [EF] tel que EF = 10, puis un demi-cercle de diamètre [EF]. 

Sur ce demi-cercle, placer le point G tel que EG $= 9$.

Sur le segment [EF], placer le point M tel que EM $= 8$.

Par M, tracer la droite (d) perpendiculaire à la droite (EG), les droites (d) et (EG) se coupent en P.
\item Démontrer que les droites (FG) et (EG) sont perpendiculaires. 
\item Démontrer que les droites (FG) et (MP) sont parallèles.
\item Calculer la longueur EP
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%%%%%cône

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
L'unité de longueur est le cm.

La figure ci-contre représente un cône de révolution de sommet S et de hauteur [SH].

 On sait que la longueur de la génératrice de ce cône est
SA = 6 et que l'angle $\widehat{\text{HSA}}$ a pour mesure $60\degres$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2.7,-0.5)(2.7,1.5)
\psellipticarc(0,0)(1.6,0.25){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.6,0.25){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](-1.6,0)(0,0)(0,0.923)
\psline(-1.6,0)(0,0.923)(1.6,0)
\psarc(0,0.923){0.3}{210}{270}
\uput[d](-1.6,0){A} \uput[r](0,0){H} \uput[u](0,0.923){S}
\rput(-0.2,0.5){$60\degres$}
\psframe(-0.15,0.15)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que $\sin 60\degres = \dfrac12,\, \cos 60\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\tan 60\degres =\sqrt{3}$.

Calculer les valeurs exactes de la hauteur HS de ce cône et du rayon
HA de son disque de base.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume du cône sous la forme $k \times \pi,\, k$ étant un nombre entier.
		\item Donner ensuite la valeur de ce volume arrondie au cm$^3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le cm. L'unité d’aire est le cm$^2$.

Sur la figure ci-dessous, AFET est un rectangle et ETC un triangle rectangle en T.

On donne les longueurs TC $= 5$ ; ET $= 6$ et EF $= 3$.

Le point M peut se déplacer sur le segment [TE], et la longueur TM est désignée par 
$x$.

%%%%%%fig.
\begin{center}
\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5.5,6.5)
\psframe(0.3,0.3)(4.5,2.4)%AFET
\psline(0.3,2.4)(0.3,5.8)(4.5,2.4)%TCE
\psline(0.3,5.8)(1.9,2.4)(4.5,0.3)%CMF
\psline{<->}(0.3,2.2)(1.9,2.2)\uput[d](1.1,2.2){$x$}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(0.1,2.4)(0.1,5.8)%TC
\uput[l](0.1,4.1){$5$}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(0.3,0.1)(4.5,0.1)%AF
\uput[d](2.4,0.1){$6$}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(4.7,2.4)(4.7,0.3)%EF
\uput[r](4.7,1.35){$3$}
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](4.5,0.3){F} \uput[ur](4.5,2.4){E}
\uput[ur](1.9,2.4){M} \uput[dl](0.3,2.4){T} \uput[ur](0.3,5.8){C}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Première partie}

\medskip

Dans cette partie, on choisit $x = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la longueur CM, puis sa valeur arrondie
au dixième.
\item Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle $\widehat{\text{TCM}}$ et en déduire
 la mesure de l'angle $\widehat{\text{TCM}}$  arrondie au degré.
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}_1$ du triangle TCM et l'aire $\mathcal{A}_2$ du triangle MEF.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Dans cette partie, le point M peut se déplacer librement sur le segment [TE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}_1$ du triangle TCM.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la longueur ME en fonction de $x$ .
		\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}_2$ du triangle MEF et l'écrire sous la forme $a x + b$,\, $a$ et $b$ étant deux nombres que l'on déterminera.
	\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire $\mathcal{A}_2$ est-elle strictement supérieure à l'aire $\mathcal{A}_1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip


I\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $D_1$ d'équation $y = \dfrac52 x$.
		\item Tracer la droite $D_2$ d'équation $y = - \dfrac32 x + 9$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection S des droites $D_1$ et $D_2$.
		\item En déduire, sans nouveau calcul, pour quelle valeur de $x$ les triangles TCM et MEF de la deuxième partie ont la même aire. Quelle est alors la valeur commune de cette aire ?
	\end{enumerate}
\item Utiliser le graphique pour déterminer avec la meilleure précision possible les valeurs de x pour lesquelles l'aire $\mathcal{A}_2$ du triangle MEF est supérieure ou égale à 3 (faire apparaître les tracés ayant permis de répondre).
\end{enumerate}
\end{document}