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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 1999}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Clermont--Ferrand juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne $A = 3\sqrt 2 - 4$ et $B = 3\sqrt2 + 4$.
\par Calculer les valeurs exactes de $A + B$, $A - B$, $A^2$ et $A\times B$.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer et donner les résultats sous la forme la plus simple possible :

\[C = \dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}\qquad  D =\left(1 - \dfrac{2}{3}\right) : \left(1 + \dfrac{2}{3}\right).\] 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Donner l'écriture décimale et l'écriture scientifique de $E$ :

\[E = \dfrac{7\times 10^{-12}  \times 6 \times 10^5}{ 21 \times 10^4}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

$f$ et $g$ sont deux applications affines définies par :

\[f(x) = 2x + 2 \quad \text{et}\quad g(x) = - 3x + 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, placer un repère (O, I, J) et tracer les représentations graphiques $d$ et $\Delta$ de $f$ et $g$ (on prendra OI = OJ = 1~cm).
\item Résoudre l'équation $2x + 2 = - 3x + 1$.

Que représente la solution de cette équation pour les droites $d$ et $\Delta$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Dans une entreprise, les salaires ont été augmentés de 1,5\,\% le 1\up{er} janvier 1999.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En décembre 1998, le salaire de Monsieur Martin était de \np{8246} F{}. Calculer son salaire en janvier 1999.
\item On désigne par $x$ le salaire d'un employé en décembre 1998 et par $y$ son salaire en janvier 1999. Exprimer $y$ en fonction de $x$.

 Donner le résultat sous la forme $y = ax$, $a$ étant un nombre décimal.
\item En janvier 1999, le salaire de Monsieur Durand est de \np{7348,60} F{}. Quel était son salaire en décembre 1998 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la figure ci-après, construire :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la figure 2 image du triangle \textcircled 1 par la symétrie de centre O,
\item[$\bullet~~$] la figure 3 image du triangle \textcircled 1 par la symétrie d'axe d,
\item[$\bullet~~$] la figure 4 image du triangle \textcircled 1 par la translation de vecteur OA ,
\item[$\bullet~~$] la figure 5 image du triangle \textcircled 1 par la rotation de centre A et d'angle 90\degres{} dans le sens de la flèche.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-6,-9)(15,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]\psdots[dotstyle=+,dotscale=2](0,0)(4,4)
\uput[u](0,0){O}\uput[u](4,4){A}\uput[ul](14,5.5){$d$}
\rput(6.5,0.5){\textcircled 1}
\psarc{<-}(0,0){8}{70}{110}
\pspolygon[linewidth=1pt](4,-1)(8,-1)(8,6)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{4}{15}{13 x mul 9 div 133 9 div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,2.4)(5.93296,0)%MLN
%\psarc(2.96648,0){2.96648}{10}{150}
\psline(0.83,2.04)\rput{-114}(0.83,2.07){\psframe(0.25,0.25)}%MH
\uput[dl](0,0){M} \uput[u](0,2.4){L} \uput[dr](5.93296,0){N} \uput[ur](0.83,2.07){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\emph{Il est inutile de refaire cette figure}

\medskip

Le triangle LMN est rectangle en M et [MH] est sa hauteur issue de M.

On donne : ML $= 2,4$ cm, LN $= 6,4$ cm

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{\text{MLN}}$.

On donnera le résultat sous forme d'une fraction simplifiée.
\item Sans calculer la valeur de l'angle $\widehat{\text{MLN}}$, calculer LH. 

Le résultat sera écrit sous forme d'un nombre décimal.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet qu'un ballon de basket est assimilable à une sphère de
rayon $R_1 = 12,1$ cm.

Calculer le volume $V_1$, en cm$^3$, de ce ballon ; donner le résultat
arrondi au cm$^3$.
\item On admet qu'une balle de tennis est assimilable à une sphère de rayon $R_2$, en cm.

La balle de tennis est ainsi une réduction du ballon de basket. Le
 coefficient de réduction est $\dfrac{4}{15}$ .
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $R_2$ ; donner le résultat arrondi au mm.
		\item Sans utiliser cette valeur de $R_2$, calculer le volume $V_2$, en cm$^3$, d'une balle de tennis ; donner le résultat arrondi à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Rappel} : Volume d'une sphère de rayon $R$ :\, $\dfrac{4}{3}\pi R^3$.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Tracer un segment [BC] de longueur 6~cm et construire sa
médiatrice $\Delta$ ; elle coupe le segment [BC] en H.

Soit A un point de $\Delta$ tel que HA $= 4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.
\item Montrer que AB $= 5$~cm.
\item Soit E le point du segment [BC] tel que BE $= 2$~cm. La
droite $(d)$ passant par E et parallèle à $\Delta$ coupe le segment
[AB] en F.

Montrer que $\dfrac{\text{BF}}{\text{BA}}=\dfrac23$.
\par En déduire la valeur exacte de BF.
\item Soit I le centre du cercle circonscrit au triangle ABH. Soit
J le centre du cercle circonscrit au triangle ACH.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
		\item Calculer IJ.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère AIHJ ? Justifier la
réponse.
\end{enumerate}
\end{document}