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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Comores juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item De quel polynôme du premier degré en $x$ le
polynôme
\[4x^2 + 12x + 9\]
est-il le carré ?
\item Mettre l'expression
\[E(x) = 4x^2 + 12x + 9 - (3x - 5)^2\]
sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré en $x$.
\item Calculer les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x) = 0$.
\item On rapporte le plan à deux axes de coordonnées rectangulaires $\left(x'\text{O}x, y'\text{O}y\right)$ et l'on prend le centimètre pour unité sur les deux axes.

Construire les droites qui représentent graphiquement chacune des fonctions
\begin{center}$y_1 = 5x - 2$ \qquad et\qquad  $y_2 = - x + 8$.\end{center}
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection, I, de ces deux droites.

Vérifier graphiquement le résultat.

Calculer la valeur de l'expression $E(x)$ quand on y remplace $x$ par l'abscisse du point I.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On considère, sur une droite, trois points A, B et C, dans cet ordre, tels que AB $= 2a$, BC $= a$.

On trace le cercle de diamètre [AB] et la perpendiculaire en C à la droite (ABC).

Sur cette perpendiculaire, on prend un point D ; la droite (AD) recoupe le cercle de diamètre [AB] en E, la droite (BE) coupe la droite (CD) en F.

Les droites (BD) et (AF) se coupent en G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que B est l'orthocentre du triangle ADF.

En déduire que le point G appartient au cercle de diamètre [AB].
\item Démontrer la similitude des triangles DBC et AFC et évaluer CD $\times $ CF en fonction de $a$.
\item Démontrer que les quadrilatères DCBE et FCBG sont inscriptibles.

En déduire que

\begin{center}AE $\times$ AD = AB  $\times$ AC = AG  $\times$  AF. \end{center}
\item  On suppose, en outre, maintenant, que CD $= \dfrac{3a}{2}$.

Calculer AD, CF, AE, AF et AG en fonction de $a$.

(On exprimera les résultats avec un dénominateur rationnel.)
\end{enumerate}
\end{document}