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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1965}
\rfoot{\small Congo--Brazaville}
\lfoot{\small juin 1965}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Congo--Brazaville juin 1965 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression
\[E(x) = \left(x^2 + 2x - 1\right)^2 - \left(x^2 - 2x + 1\right)^2.\]

		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $E(x)$ s'annule-
t-elle ?
	\end{enumerate}
\item Tracer, rapporté à deux axes rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, le graphe de la fonction 

$y = 2x - 1$.

Soit $(D)$ ce graphe, A et B ses intersections avec les axes.
\item Quelles sont les coordonnées du milieu, I, de [AB] ?
\item Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de
O sur AB.
	\begin{enumerate}
		\item Former l'équation de (OH).
		\item Déterminer les coordonnées de H.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On prolonge [AB] d'une longueur BC$ = R$ et l'on élève en C la perpendiculaire C$x$ à (AC).

Une sécante issue de A coupe le cercle en M et C$x$ en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère BMNC est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre, P.
\item En déduire la relation 
\[\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AN}} = \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}}\]

 et calculer en fonction de $R$ la moyenne proportionnelle entre les longueurs des segments [AM] et [AN].
\item Montrer que les triangles AMC et ABN sont semblables.
\item Dans le cas où $\widehat{\text{BAM}} = 30\degres$, calculer en fonction de $R$ les longueurs AM, AN, MB et AI.
\end{enumerate}
\end{document}