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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Antilles juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}
\medskip

On donne l'expression
\[A(x) = (2x - 5) (x - 1)^2 - 4(2x - 5).\]

\begin{enumerate}
\item %Effectuer, réduire les termes semblables et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
$A(x) = (2x - 5)\left(x^2  - 2x + 1\right) - 8x + 20 = 2x^3 - 4x^2 + 2x - 5x^2 + 10x - 5 - 8x + 20 = 2x^3 - 9x^2  + 4x  + 15$.
\item %Décomposer $A(x)$ en un produit de trois facteurs du premier degré.
$A(x) = (2x - 5)\left[(x - 1)^2 - 4\right] = (2x - 5)\left[(x - 1)^2 - 2^2\right]  = (2x - 5)(x - 1 + 2)(x - 1 - 2) = (2x - 5)(x + 1)(x - 3)$.

%Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $A(x)$ est nul.
On $A(x ) = 0$ si et seulement si $(2x - 5)(x + 1)(x - 3) = 0$ : ce produit est nul si l'un des facteurs est nul, soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 5&=&0\\
x + 1&=&0\\
x - 3&=&0
\end{array}\right.$ ou encore 
$\left\{\begin{array}{l c l}
2x &=&5\\
x &=&- 1\\
x &=&3
\end{array}\right.$ et enfin 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac 52\\
x &=&- 1\\
x &=&3
\end{array}\right.$.

On a donc $A\left(\frac 52\right) = A(-1) = A(3) = 0$.
\item %Simplifier la fraction rationnelle 
\[B(x) = \dfrac{(2x - 5) (x - 1)^2 - 4(2x - 5)}{(x + 1)^2(x - 3)}.\]

D'après les deux premières questions $B(x) = \dfrac{A(x)}{(x + 1)^2(x - 3)}$, soit en prenant l'écriture factorisée de $A(x)$, 

$B(x) = \dfrac{(2x - 5)(x + 1)(x - 3)}{(x + 1)^2(x - 3)} = \dfrac{2x - 5}{x + 1}$ si $x \ne - 1$ et si $x \ne 3$.
\item %Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $B(x)$ est égale à 1.
$B(x) = 1$ si et seulement si $\dfrac{2x - 5}{x + 1} = 1$ soit si $2x - 5 = x + 1$ ou en ajoutant à chaque membre $-x + 5$ : $x = 6$.

\item~ %Représenter sur un même graphique les fonctions

\begin{center}$y = 2x - 5$\qquad  et \qquad $y = x + 1$.\end{center}

($D_1$) est tracée avec les points de coordonnées $(0~;~-5)$ et (4~;~3) et ($D_2$) avec les points (0~;~1) et (3~;4)

\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-5.1)(8,8)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgriddiv=1](-2,-5.1)(8,8)
%\psgrid[gridwidth=0.35pt,gridwidth=0.1pt,subgriddiv=10,gridlabels=0pt](5,5)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-5)(8,8)
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{8}{2 x mul 5 sub}
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{8}{ x 1 add}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt]{<->}(0,7)(6,7)(6,0)
\uput[dr](1,-3){\red ($D_1$)}\uput[ul](1,2){\blue ($D_2$)}
\psdots[linecolor=red](0,-5)(4,3) \psdots[linecolor=blue](0,1)(3,4)
\end{pspicture*}
\end{center}
%Montrer que l'on peut utiliser ce graphique pour résoudre la question 4.
Les deux droites représentatives des deux fonctions sont sécantes s'il existe deux nombres $x$ et $y$ tels que :

$y = 2x - 5 = x + 1$, donc tels que $\dfrac{2x - 5}{x + 1} = 1$, soit $B(x) = 1$ Or on a vu à la question 4 que la solution de cette équation est $x = 6$, d'où l'on déduit $y = x + 1 = 6 + 1 = 7$.

L'abscisse du point commun aux deux droites est la solution de l'équation $B(x) = 1$.
\end{enumerate}


\bigskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Sur une droite $xy$ on considère le segment [AB] mesurant $35$~mm et un point C, extérieur à [AB], tel que
\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} = \dfrac{12}{5}.\]

On trace le cercle de diamètre [AB], puis on élève en C la perpendiculaire $D$ à $xy$.

On prend sur $D$ un point P ; (AP) recoupe le cercle en E.\\

\newrgbcolor{dcrutc}{0.8627450980392157 0.0784313725490196 0.23529411764705882}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.7,-4.5)(6.94471598669173,3.3338007703038826)
	\pspolygon[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1](4.993946255510282,-1.6292425432038777)(4.853334848144664,-1.6318060517503121)(4.855898356691099,-1.7724174591159298)(4.996509764056716,-1.7698539505694955)
	\pspolygon[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1](1.1093453240584497,-0.2922895878674002)(1.1718036737219184,-0.4182939291208795)(1.2978080149753977,-0.35583557945741073)(1.235349665311929,-0.2298312382039316)
	\psplot[linewidth=0.8pt]{-2.13376345863707}{6.94471598669173}{(-7.740281589465582--0.07582932329286907*x)/4.159326046571375}
	\psplot[linewidth=0.8pt]{-3.768696267205842}{6.94471598669173}{(-20.647906376190402--4.159326046571375*x)/-0.07582932329286907}
	\pscircle[linewidth=0.8pt](-0.054100435351382536,-1.861932414567979){2.080008608633515}
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	\begin{scriptsize}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](-2.13376345863707,-1.8998470762144135)
		\rput[bl](-2.4560380826317583,-1.9566094887371082){$A$}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](2.025562587934305,-1.8240177529215444)
		\rput[bl](2.184672670912982,-2.102460398134228){$B$}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](4.996509764056716,-1.7698539505694955)
		\rput[bl](5.0486541645291645,-1.6914260171059807){$C$}
		\rput[bl](4.690656477827142,2.551509528992057){$D$}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.054100435351382536,-1.861932414567979)
		\rput[bl](-0.08264601153316266,-2.062682877389559){\darkgray{$I$}}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](1.235349665311929,-0.2298312382039316)
		\rput[bl](1.031124569317575,-0.007510972248322002){$E$}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.935000019419166,1.6040266523314481)
		\rput[bl](5.088431685273834,1.755959114098675){\darkgray{$P$}}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.480281303676736,-0.10999555029504815)
		\rput[bl](3.762514327118194,-0.2992127910425621){\darkgray{$O$}}
		\rput[bl](3.1923698631112685,2.57802787615517){d}
	\end{scriptsize}
\end{pspicture*}\\
{\large Corrigé.}\\
\begin{enumerate}
	\item Calculer CA et CB.\\
	
	 Si ce  \po \ B existe comme $\df{\text{CA}}{\text{CB} }>1$, B appartient au \se\ [AC] et AC = AB + BC.

On a donc $\df{AB }{BC}+1=\df{12}{5} $ ce qui donne $\df{\text{AB}} {\text{BC}} =\df{7}{5} $ puis BC = $\df{5}{7}$AB.

Réciproquement soit C le seul \po\ de la demi-droite d'origine B ne contenant pas A tel que BC = AB$\df{5}{7}$, on a alors $\df{\text{AC}}{\text{BC}}=\df {\text{AB}+ \text{BC}}{\text{BC}}= \df{\text{AB}}{\text{BC}} + 1 = \df {7}{5} + 1= \df{12}{5}$.

BC = AB$\df{5}{7}$ et AC= AB$\df{12}{7} $.

Comme AB = 35~(mm) BC = 25~(mm) et AC = 60~(mm).
\item Démontrer que les triangles ACP et AEB sont semblables.

Les \tr s ACP et AEB sont \Sem s car ils ont les mêmes \an s. En effet ils sont \re s et ont un \an \ aigu en commun :

$\e{\text{BAE}}=\e{\text{CAP}}$ car B et E sont sur les \se s [AC] et [AB] respectivement.

Le \tr\ ACP est \re\ par hypothèse.

Le \tr\ AEB est \re\ car il est inscrit dans le \ce\ de \di\ [AB].

Évaluer le produit AP $\times$ AE.

On a donc $\df{\text{AE}}{\text{AB}}= \df{\text{AC}}{\text{AP}}$ et par conséquent $\text{AE}\times \text{AP} = \text{AB} \times \text{AC} = \text{AB}^2 = \df{12}{7}\np{2100}$.

Remarque ; les rapports valent $cos \e{EAB} $.


Lorsque CP $= 45$~mm, calculer AP et AE.

Le \eo\ de \Py\ dans le \tr\ \re\ ACP donne AP$^2 = \text{CP}^2 + \text{AC}^2$ soit 

AP$^2 = \np{5625} $ donc AP $= \sqrt{\np{5625}} = 75$. On a donc AE = $\df{\text{AB}\times \text{AC}}{\text{AP}}= \df{\np{2100}}{75}= 28$.
\item  Montrer que le quadrilatère BCPE est inscriptible dans un cercle.

Le \tr\ PEB est \re\ car AEB l'est (inscrit dans le \ce \ de \di \ [AB]) et BCP l'est aussi par hypothèse ils sont inscrits dans le \ce\ de \di \ [BP] par conséquent le \qu\ BCPE est inscriptible dans ce \ce\ ..

Préciser la position du centre O de ce cercle et évaluer son rayon lorsque PCP$= 45$~mm.

Son centre O est le \mi \ de [BP]. Le rayon R du \ce\  est $\df{\text{BP}}{2}$.

Calculons BP. L \eo\ de \Py\ dans le \tr\ \re\ BCP donne

BP$^2= \text{BC}^2 + \text{CP}^2 = 25^2 + 45^2= 5^2(5^2+9^2)= 5^2 \times 106$,
 donc $R = \df{5 \times \sqrt{106}}{2}$.
\item Sur quelle ligne se déplace le centre O lorsque P se déplace sur $D$ ?

On a OB = OC = R donc O appartient alors à la \me\ d de [BC] qui est l'ensemble des \po s équidistants de B et C.
\end{enumerate}
\end{document}