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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Corse}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Corse juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction polynôme : 
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to &\R,\\
&x&\mapsto&f(x) = 4x^2- 4x + 1 - 2x(2x - 1) + + \left(18x^3 - 9x^2\right).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de trois facteurs du premier degré.
\item Déduire du résultat précédent les solutions, dans $\R$. de l'équation
\[f(x) = 0.\]

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les fonctions polynômes:
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R& \to& \R\\
&x&\longmapsto&f(x) = x^2 + 3x + 1
\end{array}\]
\[\begin{array}{l l c l}
f' :&\R& \to& \R\\
&x&\longmapsto&f'(x) = 2x + 3\phantom{x + 1}
\end{array}\]
\[\begin{array}{l l c l}
f'' :&\R& \to& \R\\
&x&\longmapsto&f''(x) = 2\phantom{^2 + 3x + 1}
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tous réels $x$ et $h$


\[f(x + h) = f(x) + hf'(x) + \dfrac{h^2}{2}f''(x).\]

\item Utiliser le résultat précédent pour trouver une valeur approchée par défaut de
$f(2,001)$ à $10^{-5}$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$.
\[\left[f'(x)\right]^2 - 4[f(x)] = 5.\]
		\item Déduire de ce résultat les solutions, dans $\R$, de l'équation
\[f(x)  = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - Dire que $a$ est une valeur approchée de $f(2,001)$ à $10^{-5}$
près par défaut signifie:
\[a \leqslant f(2,001)< a + 10^{-5}.\]

(Les parties A et B sont indépendantes)

\newpage

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit \Oij{} un repère orthonormé.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points 
\begin{center}A(0~;~5),\quad B(3~;~4), \quad C$(-1~;~9)$,\quad 
D(17~;~3) \quad et \quad I(3~;~9).\end{center}
		\item Tracer la droite $(d)$ dont une équation est
\[y =3x - 18.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer OA, AI, IB et OB.
		\item Nature du quadruplet (O, A, I, B).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite (OI).
		\item Que peut-on dire des droites $(d)$ et (Ol) ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (AB) et (CD) sont parallèles.
		\item Montrer que le milieu du bipoint (C, D) appartient à la droite $(d)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la médiatrice du bipoint (A, B) ?
		\item Quelle est la médiatrice du bipoint (C, D) ?
		\item Peut-on faire passer un cercle par les quatre points A, B, C et D ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}