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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Corse}
\lfoot{\small septembre 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Corse septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple possible :

\renewcommand\arraystretch{2.1}
\[\begin{array}{l l}
a = \dfrac34 - \dfrac43 + \dfrac56& b = \dfrac{25}{12} \times 2,4\\
c = \left(\dfrac23 - \dfrac15 \right) : \left(- \dfrac{7}{15} \right)  &
d = \sqrt{25 - 9}\\
\end{array}\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $A = \dfrac2{-3 + \sqrt 5}{\sqrt 5 + 1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A = 2 - \sqrt 5$.
\item Sachant que $2,236 <\sqrt  5 < 2,237$ donner la valeur approchée à $0,001$ près par excès de $A$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'application $f$ définie dans $\R$ par :

\[f(x) = (2x + 3)^2 - (5x - 8)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$ et résoudre l'équation $f(x) = 0.$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
4x+3y&=&18\\
x + y&=& 5.
\end{array}\right.\]

\item Le plan étant rapporté au repère orthonormé \Oij, retrouver graphiquement le résultat de la question 1.
\item Dans une papeterie, les bandes dessinées \og Astérix \fg{} sont soldées à $35$~F.

Pierre achète $4$ crayons et $3$ gommes pour un total de $18$~F.

Jacques achète \og Astérix en Corse \fg, $3$ crayons et $3$ gommes
pour $50$~F.

Quels sont les prix respectifs d'un crayon et d'une gomme ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. On se donne les points suivants :

\begin{center}A$(-1~;~0)$ B(2~;~0) C(0~;~4).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la médiane du triangle (ABC)
passant par A.
\item Donner une équation de la médiatrice du segment [BC].
\item En déduire une équation de la hauteur du triangle (ABC) passant par A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Soit (ABC) un triangle rectangle en A tel que

mes$\left(\widehat{\text{ACB}}\right) = 45\degres$ et AB $= 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.

En déduire la nature du triangle (ABC).
\item Construire le triangle (ABC) (unité : 2,5 cm).
\item Soit A$'$ le point de [AC] tel que $\dfrac{\text{A}'\text{C}}{\text{AC}} = a$ où $0 < a < 1$.

La parallèle à (AB) passant par A$'$ coupe (BC) en B$'$.

Utiliser l'énoncé de Thalès pour calculer A$'$B$'$ en fonction de $a$.
\item Montrer que l'aire $\mathcal{A}'$ du trapèze rectangle (A$'$B$'$BA) est égale à $2\left(1 - a^2\right)$. 

Quelle est l'unité d'aire ?
\item Pour quelle valeur de $a$ l'aire $\mathcal{A}'$ est-elle la moitié de l'aire $\mathcal{A}$ de (ABC) ?
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} : Aire du trapèze de bases $B$ et $b$ et de hauteur $h$ : $\dfrac{(b +B)h}{2}$.

\end{document}
