\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Côte d'Ivoire juin 1978},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Côte d'Ivoire}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Côte d'Ivoire juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A &=&2\left(x^2- 9\right) + 3(x + 3)(x - 3)\\
B&=&- 2(x + 5)(3 - x) + (2x - 6)(x - 5)\\
C& =&x^3 - 9x
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A,\: B,\: C$.
\item Soit $F = \dfrac{A}{B}$ et $F'= \dfrac{B}{C}$

Simplifier ces deux fractions rationnelles.
\item Calculer $F$ pour $x=2$ et $F'$ pour $x=3$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on : $F = 9$ puis $F = \dfrac19$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne les fonctions suivantes, représentées respectivement par les droites $(D)$ et $(D')$
d'équations respectives :
\begin{center}$y = -2x + 4$\qquad et \qquad $y = \dfrac12 x - 1$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement ces fonctions en utilisant le cm pour unité.
\item Soit A le point de rencontre de ces deux droites. 
	\begin{enumerate}
		\item Donnez ses coordonnées.
		\item $(D)$ rencontre l'axe des ordonnées en B et $(D')$ le rencontre en C. 
		
Montrez que le triangle ABC est rectangle en A. 

Calculez ses côtés et son aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Soit un demi-cercle de centre O, de diamètre AB, de rayon $a$.

On trace OC rayon perpendiculaire à AB.

On prend un point M quelconque sur OC et AM recoupe le demi-cercle en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AOM et AKB sont semblables, en déduire l'égalité de trois rapports.
\item Montrer que le quadrilatère OMKB est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre.
\end{enumerate}

Dans la suite du problème le point H, projection de K sur AB est le milieu de OB ; construire une figure nouvelle.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les triangles KHB et AKB.
		\item Calculer en fonction de $a$ les longueurs AK, KB, KH.
		\item En déduire que OBK est équilatéral.
		\item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{KBA}}$.
	\end{enumerate}
\item BM recoupe le cercle en J. Les prolongements des segments AJ et BK se rencontrent en I.

Montrer que AIB est un triangle équilatéral dont AK, BJ et IO sont les médianes.
\end{enumerate}
\end{document}