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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Côte d'Ivoire}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Côte d'Ivoire septembre 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\smallskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient les polynômes 
\[\begin{array}{l c l}
P(x) &=&(x + 2)(2x + 1 )^2- 16(x + 2), \\
P'(x)&=&(2x + 5)(7 - x) + 4x^2 - 25.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre chacun de ces polynômes sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Simplifier la fraction

\[y = \dfrac{P(x)}{P'(x)} = \dfrac{(x + 2)(2x + 1 )^2- 16(x + 2)}{(2x + 5)(7 - x) + 4x^2 - 25}.\]

\item On obtient $y = 2x- 3$.

Étudier la fonction ainsi obtenue et la représenter graphiquement.
\item Indiquer les coordonnées des points A et B d'intersection de la droite obtenue avec les axes (A sur $yy'$, B sur $xx'$) et les coordonnées du milieu, M, de [AB].

Quelle fonction représente la droite (OM) ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un rectangle ABCD (AB = DC $= a$, BC= AD $= b$).

On prend sur [AB] un point P tel que $\dfrac{\text{AP}}{\text{AB}} = \dfrac13$ et [DC], un point M tel que $\dfrac{\text{CM}}{\text{CD}} = \dfrac13$.

On prolonge [PM] jusqu'à sa rencontre avec (AD), en K, et avec (BC), en S.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'on a KP  = PM = MS.
\item Démontrer que [PM] et [BD] se coupent en leur milieu.
\item On considère le triangle KBD.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est sa nature?
		\item Montrer que (DP) coupe [BK] en son milieu.
	\end{enumerate}
\item Quelle doit être la valeur de $a$ en fonction de $b$ pour que: 
	\begin{enumerate}
		\item le triangle KBD soit équilatéral ;
		\item le triangle KBD soit rectangle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}