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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 1999}

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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Créteil--Paris--Versailles juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\emph{Pour chaque question, on indiquera les différentes étapes du calcul}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible :

\[A = \left( - \dfrac{5}{6}\right) : \dfrac{4}{3}\qquad B = \dfrac{5}{6} + \dfrac{4}{3}\times \dfrac{15}{8}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose : $E = \left(\sqrt{5} + \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5} - \sqrt{3}\right) - 8 \sqrt{5}\left(\sqrt{5} - 1\right)$.   

Écrire $E$ sous la forme $a + b \sqrt{5}$ ($a$ et $b$ sont des nombres entiers
relatifs).

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On pose : $F = (5x - 3)^2 - (5x - 3) (8x - 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Les nombres $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac23$ sont-ils solutions de l'équation : $(5x - 3)(- 3x - 2) = 0$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Pour équiper une salle de réunion, M. Dupont achète des chaises et des tabourets.

Chaque chaise coûte $200$ francs et chaque tabouret $80$ francs. Il paie au total \np{6000} francs.

Il a acheté $5$ chaises de plus que de tabourets.

Quel est le nombre de chaises et le nombre de tabourets achetés par M. Dupont ?

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Dans un centre d'examen, après avoir corrigé $432$ copies, on a fait le bilan suivant :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $168$ copies ont une note strictement inférieure à 10 ;
\item[$\bullet~~$] $264$ copies ont une note supérieure ou égale à 10.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Représenter ce bilan par un diagramme semi-circulaire (on prendra un rayon de 4 cm).

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
L'unité de longueur est le mètre.

Pour abriter un spectacle, on a construit un chapiteau dont la forme est un cône représenté par le schéma ci-contre.

Sur le sol horizontal, la toile du chapiteau dessine un cercle de rayon AH = 10.
Le mât, vertical, a pour longueur SH = 15.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(2.5,5)
%\psgrid
\psline(-2.5,0)(0,5)(2.5,0)%ASB
\uput[l](-2.5,0){A} \uput[u](0,5){S} \uput[r](2.5,0){B} 
\psellipticarc(0,0)(2.5,0.65){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.5,0.65){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](0,-0.55)(0,5)
\psline[linestyle=dashed](-2.5,0)(2.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(-1.2,2.6)%NM
\uput[r](0,2){N} \uput[ul](-1.2,2.6){M} 
\psline[linestyle=dashed](0,1)(-1.6,1.8)%DC
\uput[r](0,1){D} \uput[ul](-1.6,1.8){C} 
\psframe(0,0)(-0.25,0.25)
\uput[dr](0,0){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du chapiteau (on donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au m$^3$).
\item Calculer la longueur SA (on donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm).
\item Déterminer la mesure en degré de l'angle $\widehat{\text{ASH}}$ arrondie à l'unité.
\item Pour accrocher des affiches, on a tendu deux câbles, l'un du point M au point N, l'autre du point C au point D.
Comme l'indique le schéma, M et C sont des points du segment [SA], N et D sont des points du segment [SH].

On donne : SM = 8, SN = 7, SC = 12, SD = 10,5.

Les câbles sont-ils parallèles ? Justifier.
\item Le plus petit des deux câbles mesure $3$~m. Calculer la longueur de l'autre câble.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

(O, I, J) est un repère orthonormal du plan, l'unité est le centimètre. On utilisera une feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(3~;~0), B$(-1~;~4)$, C$(-3~;~4)$, D$(-1~;~3)$ et E$(-1~;~2)$.
\item Dans cette question, on ne demande aucun trait de construction ni aucune justification.

On appelle F la figure représentée par le polygone ABCDE.
Tracer sur le même graphique :
	\begin{enumerate}
		\item l'image F$_1$ de F par la rotation de centre E, d'angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre;
		\item l'image F$_2$ de F par la translation de vecteur $\vect{\text{CJ}}$. On placera les lettres F$_1$ et F$_2$ sur le graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Un club multisports propose à sa clientèle de choisir entre les trois formules suivantes :

\begin{description}
\item[ ] Formule A : 75 F par séance.
\item[ ] Formule B : Un forfait annuel de $900$ F auquel s'ajoute une participation de $30$ F par séance.
\item[ ] Formule C : Un forfait annuel de \np{3300} F permettant l'accès illimité aux séances.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Kevin décide de suivre une séance par mois pendant toute l'année, Nadia une séance par semaine pendant toute l'année, Perrine deux séances par semaine pendant toute l'année.
(On rappelle qu'une année comporte 52 semaines.)

	\begin{enumerate}
		\item On ne demande aucune justification ni aucun détail de calcul pour cette question.
		
Compléter le tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
										&Kevin	& Nadia &Perrine\\ \hline 
Nombre de séances pour l'année			&		&		&\\ \hline 
Prix à en francs avec la formule A		&		&		&\\ \hline 
Prix à payer en francs avec la formule B&		&		&\\ \hline 
Prix à payer en francs avec la formule C&		&		&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
		\item En déduire la formule la plus avantageuse pour chacun.
	\end{enumerate}
\item On appelle :
$x$ le nombre de séances suivies par une personne pendant un an ;
$p_{\text{A}}$ le prix à payer en francs pour l'année si elle choisit la formule A; $p_{\text{B}}$ le prix à payer en francs pour l'année si elle choisit la formule B. 

Exprimer $p_{\text{A}}$ et $p_{\text{B}}$ en fonction de $x$.
\item Résoudre l'inéquation : $75x \leqslant  900 + 30x$.

Comment peut-on interpréter la réponse?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal (O, I, J), O étant placé en bas à gauche.

On prendra les unités suivantes : 1 cm pour 10 séances sur l'axe des abscisses, 1 cm pour $200$ F sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer, dans ce repère, les droites :
\begin{description}
\item[ ] $d_{\text{A}}$, d'équation : $y = 75x$
\item[ ] $d_{\text{B}}$, d'équation : $y = 30x + 900$
\item[ ] $d_{\text{C}}$, d'équation : $y = \np{3300}$
\end{description}

Pour les questions suivantes, on ne demande aucun calcul mais on fera apparaître les traits de construction permettant d'y répondre.
\item Véronique a choisi la formule A et elle a payé \np{3000}~F pour l'année.

Déterminer \textbf{graphiquement} :
	\begin{enumerate}
		\item le nombre de séances qu'elle a suivies,
		\item le nombre de séances qu'elle aurait pu suivre si elle avait choisi la formule B.
	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le nombre de séances à partir duquel il est plus avantageux de choisir la formule C.
\end{enumerate}
\end{document}