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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Créteil}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit $f$ J'application de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = (2x + 1)^2 - \dfrac12(5x - 2)(2x + 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.

Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\item Résoudre dans $\R$ le système. d'inéquations suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{-}2x + 1&<&0,\\
- \dfrac12 x + 2 &\geqslant&0
\end{array}\right.\]

puis le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{-}2x + 1&\geqslant&0,\\
- \dfrac12 x + 2 &<&0
\end{array}\right.\]

Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x ) \geqslant 0$, puis l'équation $f(x) = |f(x)|$.
\item Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, représenter la droite 
$\mathcal{D}$ d'équation

\[y = 2x + 1\]

et la droite $\mathcal{D}'$ d'équation

\[y = - \dfrac12 x + 2.\]

On note $X$ l'axe dont $\left(\text{O}, \vect{\imath}\right)$ est un repère (axe des abscisses). 

Soit $\{\text{A}\} = X \cap  \mathcal{D}$ et $\{\text{A}'\} = X \cap  \mathcal{D}'$. 

Calculer les coordonnées de A et de A$'$.
\item Soit trois points M, P et P$'$ de même abscisse $x$. M élément de $X$, P élément de $\mathcal{D}$, P$'$ élément de $\mathcal{D}'$.

Évaluer, en fonction de $x$, les produits $\overline{\text{MP}} \cdot \overline{\text{MP}'}$ et $\overline{\text{MA}} \cdot \overline{\text{MA}'}$.

Démontrer que $\overline{\text{MA}} \cdot \overline{\text{MA}'} = - \overline{\text{MP}} \cdot \overline{\text{MP}'}$.

Expliquer comment on peut trouver graphiquement les solutions de l'inéquation

$f(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, représenter les points suivants définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A$(-4~;~2)$\:; \quad B(3~;~3)\:; \quad C$(8~;~-2)$\quad  et \quad  I(2~;~0).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que I est le milieu du bipoint (A, C) et
que les vecteurs $\vect{\text{BI}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux.
\item Soit D le symétrique du point B par rapport au point I.

Démontrer que le quadruplet (A, B, C, D) définit un losange.

Calculer la distance $d$(A, D).
\item Soit E le point image de D par la translation du vecteur $\vect{\text{BA}}$.

Comparer les directions des droites (AE) et (BD).
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [AC].

Quel est son centre? Calculer son rayon.

Quelle est sa tangente au point A ?
\end{enumerate}
\end{document}