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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Créteil}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

Les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ sont définies par 
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&x^2 + 4x - 5,\\
g(x)&=&(x + 9)^2 - (x + 1)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $g(x)$. 

Résoudre, dans $\R$, l'équation
\[g(x) = 0.\]
\item $f(x)$ peut s'écrire sous la forme 
\[\left(x^2 + 4x + a\right) - 9,\]
où $a$ est un entier naturel ; déterminer $a$ et factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f\left( 1 - \sqrt 2\right)$.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, donner un encadrement de $f\left( 1 - \sqrt 2\right)$ à $10^{-2}$ près.
\item On appelle $h$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par
\[h(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 5)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_h$ de $h$.
		\item Le réel $x$ appartenant à $\mathcal{D}_h$, simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, les équations
\[h(x) = 0, \qquad  h(x) = 1, \qquad h(x) = - 5.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Le plan euclidien $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé \Oij. 

On considère les points suivants définis par leurs coordonnées :
\begin{center}A(1~;~4),\qquad  B(0~;~1),\qquad C$(-3~;~2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure, en prenant pour unité le centimètre.

Calculer les coordonnées du point I, milieu du bipoint (A, C).
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux.
\item Prouver que la droite (BI) est la médiatrice du segment [AC].
\item Calculer les coordonnées du point D défini par 
\[\vect{\text{BD}} = 2\vect{\text{BI}}.\]

\item Préciser la nature du quadruplet (A, B, C, D),
\item Soit M le symétrique du point A par rapport au point B.

Calculer les coordonnées de M. 

Montrer que le triangle (A, C, M) est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}
\end{document}