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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil--Paris--Versailles juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Résolution et calculs}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations (1) et (2)

\[\begin{array}{l c l}
(1)\qquad x^2 &=& 5 \times 3 \times 2^2 \times 15\\
(2)\qquad |x - 4| + 1&=&0
\end{array}\]

\item Trouver le plus petit entier naturel $a$, non nul, tel que
$b = 605 \times a$ soit un carré ; en déduire $\sqrt b$.
\item Soit $r= 2\sqrt 5 - 3\sqrt 2$ et $t = \sqrt {39 - 12\sqrt{10}}$.

Montrer que $r > 0$, calculer $r^2 - t^2$ puis comparer $r$ et $t$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{Factorisation}


Étant donnée l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = 25 - 9x^2 - (1 -x)(3x - 5) - (10 - 6x)(x + 1),\]

factoriser $f(x)$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{Fonctions numériques}

Soient les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ telles que

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{6-10}
$x$		&$\sqrt 2 + 1$	&$3 + 2\sqrt 2$	&\multicolumn{2}{c|}{~}&$x$	&$-7$	&56	&20	&$\dfrac25$\\\cline{1-3}\cline{6-10}
$f(x)$	&$\sqrt 2 - 1$	&$1$			&\multicolumn{2}{c|}{~}&$g(x)$&$\dfrac{21}{2}$&$- 84$&$- \dfrac{63}{2}$&$- \dfrac35$\\\cline{1-3}\cline{6-10}
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

Sont-elles linéaires ?

Justifier votre réponse.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les questions  2., 3. et 4. sont indépendantes.

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}
on donne les points :

\begin{center}E$(-2~;~-1)$\qquad  F$(1~;~-1)$\qquad  G(1~;~3).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire la figure sur papier millimétré.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{FE}}$ et $\vect{\text{FG}}$ sont orthogonaux.
\item Calculer les distances FE et FG.

Soit $\alpha$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{FEG}}$ ; calculer $\tan \alpha$.

En déduire un encadrement de $\alpha$ à un degré près. (si l'on n'a pas réalisé le b. on pourra admettre que le triangle FEG est rectangle en F).
\item Déterminer une équation de la droite (EG).

Calculer les coordonnées de A, point d'intersection de l'axe des ordonnées et de (EG).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un tétraèdre régulier ABCD (AB = BC = AC = BD = DA = DC $= a$).

I le milieu de [AD], \:J le milieu de [BC].

Montrer que (IJ) est perpendiculaire à (AD) et perpendiculaire à (BC) 
(on étudiera la nature des triangles AJD et BIC).

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées}

\medskip

L'unité de longueur choisie est le centimètre.

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB $= 3$ \:;\: AC $= 9$.

J est le milieu de [BC].

I est le point du segment [AC] tel que IC $= 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Calculer BC et BI.

Que représente la droite (IJ) pour le segment [BC] ?

En déduire la nature du triangle IJC.
\item La droite parallèle à la droite (AB) passant par I coupe la droite (BC) en E.

Calculer EC, EI et EJ.
\item Montrer que le quadrilatère (ABJI) est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre O et le rayon $r$.
\item Calculer OC, (on pourra utiliser la projection orthogonale de O sur (AC).
\item Montrer que $\overline{\text{CI}} \cdot \overline{\text{CA}} = \overline{\text{CJ}} \cdot \overline{\text{CB}} = \text{OC}^2 - \text{OA}^2$.
\end{enumerate}
\end{document}