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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Créteil}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous forme de fraction irréductible:

\[a = \dfrac{22}{21} - \dfrac76 ; \qquad  b = \dfrac{\left(2^2\right)^3}{24}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $f$ l'application numérique de $\R$ dans $\R$ définie par : 

\[f(x) = (2x - 3)(x - 1) - (2x - 3)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $(2x - 3)(- x + 2) = 0$.
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Calculer $f\left(\sqrt 3 - 1\right)$.

Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner une valeur approchée de $f\left(\sqrt 3 - 1\right)$ à $0,1$ par défaut.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un rectangle ABCD tel que AB $= 8~cm et BC $= 6~cm. 

H est la projection orthogonale du point A sur la diagonale (BD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
\item Calculer BD.
\item Calculer l'aire du triangle BDA.

En déduire AH.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCDEFGH est un cube. La longueur de son arête est 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AF.
\item Démontrer que le triangle AFH est équilatéral.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(9,8)
\psframe(0.2,0.2)(5.6,5.6)%DCBA
\psline(5.6,0.2)(8.5,1.9)(8.5,7.3)(5.6,5.6)%CGFB
\psline(8.5,7.3)(3.1,7.3)(0.2,5.6)%FEA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(3.1,1.9)(8.5,1.9)
\psline[linestyle=dashed](0.2,5.6)(3.1,1.9)(8.5,7.3)%AHF
\psline[linestyle=dashed](3.1,1.9)(3.1,7.3)%HE
\uput[ul](0.2,5.6){A} \uput[ul](5.6,5.6){B} \uput[dr](5.6,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](3.1,7.3){E} \uput[u](8.5,7.3){F} \uput[r](8.5,1.9){G} \uput[dr](3.1,1.9){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le plan P est rapporté au repère orthonormé \Oij. L'unité de longueur est le cm. 

On considère les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

$\left(D_1\right)$ a pour équation : $2x - y + 4 = 0$.

$\left(D_2\right)$ a pour équation : $x + 2y - 3 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Démontrer que $\left(D_1\right)$ contient le point B$(-5~;~-6)$ et que $\left(D_2\right)$
contient le point C$(5~;~-1)$.
\item Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vect{u}$ de $\left(D_1\right)$ et d'un vecteur directeur $\vect{v}$ de $\left(D_2\right)$.

Montrer que les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sont perpendiculaires.
\item Soit A le point d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Déterminer les coordonnées de A.
\item Calculer les longueurs AB et BC.
\item Soit $\alpha$ la mesure, en degré, de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.

Déterminer $\sin \widehat{\text{ACB}}$. 

En déduire une valeur approchée de $\widehat{\text{ACB}}$ à un degré près par défaut.

(Pour cette dernière question, on pourra utiliser l'extrait de la table trigonométrique ci-dessous.)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés 	&51 		&52			& 53		&54 		&55 \\ \hline
Sinus 	&\np{0,7771}&\np{0,7880}&\np{0,7986}&\np{0,8090}&\np{0,8192}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{document}