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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Créteil}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres $A$ et $B$ suivants.

(On mettra ces nombres sous forme de fractions irréductibles.)

\[A = \dfrac47 - \left(\dfrac27 \times \dfrac34\right) \qquad \text{et}\qquad B = \left(\dfrac13 - 1\right) : \left(- \dfrac49\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie par :

\[f(x) = (3x - 1)^2 - 4x(2x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item En déduire l'expression de $f(x)$ sous forme d'un carré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une des dimensions d'un rectangle est $3$~cm, l'autre, notée
$x$, est inconnue ($x$ est exprimé en cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'aire de ce rectangle en fonction de $x$.
\item On augmente les deux dimensions de ce rectangle de $2$~cm.

Exprimer l'aire du nouveau rectangle en fonction de $x$.
\item L'aire du nouveau rectangle est supérieure de $20$ cm$^2$ à celle du rectangle initial.

Quelle était la dimension inconnue du premier rectangle ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC, rectangle en A et tel que : AB $= 6$ cm et $\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$.
\item Calculer les longueurs BC et AC.

$\left(\text{On rappelle que }\sin 30\degres = \dfrac12 \:\text{et}\: \cos 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\right)$
\item Construire le point D symétrique de C par rapport à la droite (AB).

Prouver que le triangle BCD est équilatéral.
\item Construire le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{DB}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère ADBE ? Justifier.

Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

On rappelle une formule de l'aire d'un triangle quelconque :

\[S = \dfrac12  bh.\]

($h$ : hauteur ; $b$ : côté correspondant à la hauteur.)

Les longueurs sont exprimées en cm et les aires en cm$^2$.

\medskip

Soit un triangle ABC, rectangle en A, tel que AB $= 8~$cm et AC $= 6$~cm.

I est le point du segment [AC] tel que AI $= 2$~cm.

M est un point quelconque du segment [AB] ; on pose $x =$ AM.

La parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe (AC) en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Réaliser la figure en choisissant un point M quelconque sur [AB].
		
Calculer la longueur BC et l'aire du triangle ABC.
		\item Exprimer l'aire du triangle NCI en fonction de $x$. En déduire l'expression de l'aire du quadrilatère NIAB en fonction de $x$.
	\end{enumerate}	
\item Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. (L'unité de longueur est le cm.)

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par :

\begin{center}$f(x) =2x$\qquad et \qquad  $g(x) = 24 - 2x.$\end{center}

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Construire les droites (D) et (D') représentant les fonctions $f$ et $g$.
		\item Calculer les coordonnées de leur point d'intersection K.
		\item En déduire la position du point M sur [AB] pour laquelle les aires du triangle NCI et du quadrilatère NIAB sont égales.
		
Quelle est cette aire commune ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}