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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Créteil, Versailles}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil\footnote{Versailles} juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres $A$ et $B$ suivants (on mettra ces nombres sous forme de fractions irréductibles) :

\[A = 1 - \dfrac34 \times \dfrac25\:; \quad B = \dfrac{10^{-2} \times \left(10^3\right)^2}{10^5}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $a = \sqrt 5 + 3$ et $b = \sqrt 5 - 3$.

Calculer $a^2, \:b^2,\:  ab,\: \dfrac ab + \dfrac ba$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Madame Dubois va au marché. Elle achète, pour elle, 4 kg d'abricots et 2 kg de bananes et elle paye $44$~F ; elle achète, pour sa voisine, 2 kg d'abricots et 3 kg de bananes et elle paye $34$~F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $x$ le prix exprimé en francs d'un kg d'abricots et par $y$ le prix exprimé en francs d'un kg de bananes. 

Écrire les deux équations correspondant aux deux achats de
Madame Dubois.
\item Résoudre le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x + 2y &=& 44\\
2x + 3y& =& 34.
\end{array}\right.\]

\item Quels sont les prix exprimés en francs du kilogramme d'abricots et du kilogramme de bananes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un segment [BC] tel que BC $= 8$~cm. 

Construire un point A tel que AB $= 5$ cm et AC $= 6$ cm.

Soit D le point du segment [BC] tel que BD $= 2,4$ cm et soit E le point du segment [AB] tel que BE $= 3$ cm.

Soit M le milieu du segment [BC].
\item Calculer $\dfrac{\text{BD}}{\text{BM}}$ et $\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}}$ 

Que peut-on en déduire pour les droites (ED) et (AM) ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, I, J) (unité de longueur: 1 cm), on considère les points 

\[\text{A}(-2~;~3),\:\: \text{B}(4~;~6) \quad \text{et}\quad  \text{C}(0~;~-1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point D défini par

\[\vect{\text{AD}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}.\]

\item Calculer les coordonnées du point D.
\item Montrer que l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est droit.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un rectangle ABCD tel que AB $= 10$~cm et AD $= 6$~cm, le point E du segment [AB] tel que AE $= 4$~cm et le point F du segment [BC] tel que BF $= 4$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item Calculer $\tan \widehat{\text{AED}}$ et $\tan \widehat{\text{BEF}}$.
		
En déduire une valeur approchée au 1/10\up{e} de degré près de la
mesure des angles $\widehat{\text{AED}}$ et $\widehat{\text{BEF}}$. 

Quelle est la nature du triangle DEF ?
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ un nombre réel \emph{strictement positif}.

On considère un rectangle ABCD tel que AB $= x + 6$ et AD $= x + 2$.

Soit E le point du segment [AB] tel que AE $= x$ et soit F le point du segment [BC] tel que BF $= x$ (l'unité est le cm).
	\begin{enumerate}
		\item  Pour quelle valeur de $x$ obtient-on le rectangle de la question 1?
		\item Exprimer DE$^2$, EF$^2$ et DF$^2$ en fonction de $x$.
		\item Déterminer $x$ pour que le triangle DEF soit rectangle en E. 
		
Pouvait-on prévoir ce résultat?
		\item On désigne par $S$ l'aire du triangle ADE et par $S'$ l'aire du rectangle ABCD. 
		
Exprimer $S$ et $S'$ en fonction de $x$. 

Déterminer $x$ pour que $S'$ soit le triple de $S$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}