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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Créteil, Paris, Versailles}
\lfoot{\small juin 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil, Paris, Versailles juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer, puis simplifier : 


\[A = \dfrac{13}{14}  - \dfrac{1}{15} \times \dfrac{10}{7}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer $B$ et $C$, en donnant le résultat sous la forme $m\sqrt p$, où $m$ et $p$
sont des nombres entiers, $p$ étant le plus petit possible :

\[B = 7\sqrt{15} \times 2 \sqrt{35}\times  \sqrt{3} \, ; \qquad  C = \left(2 - 3 \sqrt{5}\right)\left(15 + 2\sqrt{5}\right).\].

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Factoriser l'expression : $D = (2x + 1)^2 - 64$.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre l'équation : $(5x + 4) (3 - 2x) = 0$.

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Roméo veut offrir un bouquet de fleurs à sa bien-aimée. Le fleuriste lui propose :

$\bullet~~$ un bouquet composé de 8 iris et de 5 roses, pour un prix total de 142 francs ;

$\bullet~~$ un bouquet composé de 5 iris et de 7 roses, pour un prix total de 143 francs.

Calculer le prix d'un iris et le prix d'une rose.

Pour cela, vous appellerez $x$ le prix d'un iris et $y$ celui d'une rose, puis
vous mettrez ce problème en équation. 

Enfin, vous vérifierez votre réponse par un calcul que vous écrirez sur la copie.

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Placer les points T, P et M tels que : 

$\vect{\text{DT}} = \vect{\text{AC}}$ ;

$\vect{\text{EP}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{AC}}$ ;

$\vect{\text{AM}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(18,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](5,4)(5,8)(9,2)(10,11)(14,7)%ABCDE
\uput[dl](5,4){A} \uput[ul](5,8){B} \uput[dr](9,2){C} \uput[ur](10,11){D}
\psline[linewidth=1.25pt](5,8)(5,4)(9,2)%BAC
\uput[ur](14,7){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter les deux points A$(- 3~;~4)$ et B$(2~;~7)$.

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-9,-4)(9,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=15]{->}(0,0)(-9,-4)(9,9)
\uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} \uput[dr](0,0){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer la distance AB.
\item Déterminer une équation de la droite (AB).
\item Déterminer une équation de la droite $\Delta$, parallèle à l'axe des ordonnées, et passant par le point B. La tracer.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le polygone ABCDEF est noté P

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(18,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\pspolygon[linewidth=1.25pt](8,9)(6,8)(6,5)(9,5)(10,6)(10,8)
\uput[u](8,9){A} \uput[ul](6,8){B} \uput[dl](6,5){C} \uput[dr](9,5){D}
\uput[dr](10,6){E}\uput[ur](10,8){F}
\rput(8,7){P}
\end{pspicture}
\end{center}

Dessiner, sur cette figure :

\medskip

\begin{enumerate}
\item L’image P$_1$ de P par la symétrie axiale pat rapport à la droite (DE).
\item L’image P$_2$ de P par la symétrie de centre C.
\item L’image P$_3$ de P par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\emph{Dans une très large mesure, les questions de ce problème sont indépendantes}

\medskip

STUABC est un prisme droit, et SABC est une pyramide à base triangulaire.

Dans la suite du problème, les longueurs, en centimètres, sont données par : 

\begin{center}AC $= 4,5$ ;\quad  AB $= 6$ ;\quad  BC $= 7,5$ ;\quad  SB $= 7$.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4.4)
%\psgrid%[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psline(0.2,0.4)(2.2,0.2)(2.2,2.7)(0.2,2.9)(0.2,0.4)(2.2,2.7)%CASUCS
\psline(2.2,0.2)(3.7,1.7)(3.7,4.2)(2.2,2.7)(3.7,1.7)%ABTSB
\psline(3.7,4.2)(0.2,2.9)%TU
\psline[linestyle=dashed](3.7,1.7)(0.2,0.4)%BC
\psline(2.2,0.4)(2,0.43)(2,0.23)
\psline(2.2,0.4)(2.37,0.58)(2.37,0.38)
\uput[d](2.2,0.2){A} \uput[r](3.7,1.7){B} \uput[l](0.2,0.4){C}
\uput[u](2.2,2.7){S} \uput[ur](3.7,4.2){T} \uput[l](0.2,2.9){U}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dessiner un patron de la pyramide SABC. 

Vous laisserez en évidence les lignes de construction.
\item Les calculs doivent être justifiés et les justifications soigneusement rédigées.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la hauteur SA de la pyramide. Donner la valeur exacte.
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ASB}}$. On donnera la valeur arrondie à $1\degres$ près.
		\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
		\item Calculer l'aire de la base ABC, puis le volume $V$ de la pyramide SABC.
		
On donnera la valeur arrondie du résultat à 1 cm$^3$ près.
		\item On a placé un point M sur l'arête [SB] et un point N sur l'arête [SC] de façon que la droite (MN) soit parallèle à la droite (BC), et que SM $= 4,2$. (La figure ci-après indique seulement la position des points, mais ne respecte pas les dimensions.)
		
		Calculer la longueur du segment [MN].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt]
\pspolygon(0.2,0.2)(5.6,0.2)(3.5,4.2)%BCS
\psline(1.44,1.7)(4.8,1.7)%MN
\uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](5.6,0.2){C} \uput[u](3.5,4.2){S}
\uput[l](1.44,1.7){M}\uput[r](4.8,1.7){N}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}