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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Créteil--Paris--Versailles}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Créteil--Paris--Versailles juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\emph{Les exercices qui suivent sont indépendants. On écrira les étapes des calculs}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer, puis simplifier (on donnera les résultats sous la forme de fractions les plus simples possibles) :

 \[A = \dfrac32  - \dfrac15 \times \dfrac{25}{7} ; \quad  B = \left(\dfrac28 - \dfrac{3}{15}\right) : \dfrac{3}{10} ; \quad C = \dfrac{25 \times 10^2 \times 121}{11 \times 150 \times 3}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer $D$ et $E$ ; on donnera les résultats sous la forme $m\sqrt p$ , où $m$ et $p$ sont des nombres entiers : 

\[D = 2 \sqrt{32} - \sqrt{50} ;\qquad  E = \sqrt{15} \times \sqrt{10}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $F = (4 x - 3)^2 - (x - 4)(4x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Résoudre l'équation : $(4 x - 3)(3 x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Deux carnets de tickets de transport \og plein tarif \fg{} et trois carnets de tickets \og tarif réduit \fg{} coûtent $167$~F.

Un carnet de tickets de transport \og plein tarif\fg{} et deux carnets de tickets \og tarif réduit \fg{} coûtent $96$~F.

Calculer le prix d'un carnet \og plein tarif \fg{} et le prix d'un carnet \og tarif réduit\fg.

Pour cela, vous appellerez $x$ le prix d'un carnet \og plein tarif \fg{} et $y$
celui d'un carnet \og tarif réduit\fg, puis vous mettrez ce problème en équation.

Enfin, vous vérifierez votre réponse par un calcul que vous écrirez sur la copie.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure F$_1$ est tracée ci-dessous.


\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(19,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\pspolygon(1,1)(3,3)(4,3)(5,2)(4,1)
\rput(3.5,2){F$_1$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,1)(6,2)(11,3)
\uput[l](1,1){A} \uput[dr](6,2){B} \uput[ul](11,3){C}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer l'image F$_2$ de F$_1$ par la symétrie de centre B ; préciser l'image de A par cette symétrie.
\item Tracer l'image F$_3$ de F$_2$ par la symétrie de centre C.
\item Par quelle transformation passe-t-on de F$_1$ à F$_3$ ? En utilisant des points du dessin, préciser cette transformation.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni du repère orthonormal (O, I, J). 

Parmi les huit équations de droites suivantes, figurent celles de chacune des cinq droites tracées sur la figure :

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-4,-6)(15,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-6)(15,8)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-3}{2.3}{2 x mul 3 add}\uput[ul](2,7){$D_1$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-1}{6}{2 x mul 4 sub}\uput[ul](5.5,7){$D_5$}

\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-4}{12}{3  x 4 div  sub}\uput[ul](-3,4){$D_4$}
\uput[u](12,6){$D_2$}
\uput[dr](6,-5){$D_5$}

\psline[linewidth=1.25pt](-4,6)(15,6)
\psline[linewidth=1.25pt](6,-6)(6,8)
\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](1,0){I}\uput[ul](0,1){J}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Droite&Équation de la droite\\ \hline
$D_1$& \\ \hline
$D_2$& \\ \hline
$D_3$& \\ \hline
$D_4$& \\ \hline
$D_5$& \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.7)(2.8,6.8)
\psellipticarc(0,0)(2.6,0.7){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.6,0.7){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](-2.6,0)(2.6,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,6.3)
\psline(-2.6,0)(0,6.3)(2.6,0)
\uput[l](-2.8,0){A} \uput[d](0,0.18){O} \uput[r](2.6,0){B} \uput[u](0,6.3){S}
\psframe(0.4,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité de longueur est le centimètre.

Une bougie a la forme d'un cône de révolution de sommet S ; sa
base est un cercle de centre O et de diamètre AB $= 10$, on donne SA $= 13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la hauteur de la bougie a pour longueur $12$ cm.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte du volume de la bougie en cm3. (On écrira cette valeur sous la forme $k \times \pi$, où $k$ est un nombre entier.)
		\item Combien peut-on fabriquer de bougies de ce type avec $4$ litres de cire ? (Rappel : 1 litre = \np{1000} cm$^3$.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Pour ce problème, l'unité de longueur est le centimètre.

Les trois questions sont indépendantes.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(0,-0.4)(4.8,3.5)
%\psgrid
\psframe(0.7,-0.3)(4.2,3.2)%GFEA
\psline(2.4,3.2)(2.4,1.6)(0.7,1.6)(4.2,3.2)%BCDE
\uput[l](0.7,3.2){A} \uput[u](2.4,3.2){B} \uput[dr](2.4,1.6){C} \uput[l](0.7,1.6){D}
\uput[r](4.2,3.2){E} \uput[dr](4.2,-0.3){F} \uput[dl](0.7,-0.3){G} \uput[dr](2.4,2.38){H}
\uput[u](1.55,3.2){0,75}\uput[u](3.3,3.2){$x$}
\uput[l](0.7,2.4){0,75}\uput[l](0.7,0.65){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Le carré ABCD a pour côté $0,75$ cm. 

On obtient le carré AEFG en prolongeant les côtés [AB] et[AD] d'une même longueur $x$, où $x$ est exprimé en centimètres. Le segment [ED] coupe le segment [BC] en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on se place dans le cas particulier où BE = 0,5.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le périmètre du carré AEFG.
		\item Calculer $\tan \widehat{\text{AED}}$ et en déduire la valeur arrondie, au degré près, de l'angle $\widehat{\text{AED}}$.
	\end{enumerate}
\item On se place dorénavant dans le cas général où la valeur numérique de $x$ n'est pas donnée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le périmètre $p$ du carré AEFG est égal à $4 x + 3$.
		\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J), l'unité de longueur étant le centimètre. 
		
On utilise une feuille de papier millimétré.

Tracer la droite d'équation $y = 4 x + 3$.
		\item \emph{En utilisant cette représentation graphique} (on laissera en évidence les tracés utiles) :
		
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] trouver la valeur du périmètre $p$ du carré AEFG lorsque $x = 2$ ;
\item[$\bullet~~$] trouver $x$ à $0,1$ cm près, pour que le périmètre du carré AEFG soit égal à $10$ cm.
\end{itemize}
Par le calcul, déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle $p = 10$.
\item Dans cette question, on se place dans le cas particulier où HB $= 0,6$ et BE $= x$.
\end{enumerate}
Calculer la valeur de BE.
\end{enumerate}
\end{document}