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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Créteil Paris Versailles}
\lfoot{\small septembre 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil Paris Versailles~\decofourright\\[7pt]septembre 1989 }}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne
\[
P(x) = x^2 - 4 + (x + 3)(x + 2).\]

Factoriser $P(x)$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

À tout nombre $x$ différent de $- 1$, on associe le nombre : 

\[f(x) = \dfrac{9x^2 - 1}{x + 1}.\]

Calculer 

\[f( -2) ;\quad \:f(0);\quad \:f\left(\dfrac13\right) ;\quad\:f\left(\dfrac23\right) ;\quad\:f\left(\sqrt 5\right).\]

(On écrira $f\left(\dfrac23\right)$ sous forme d'un fraction simplifiée au maximum et $f\left(\sqrt 5\right)$ sous la forme $a + b\sqrt 5$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs).

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x+ \phantom{3}y &=& 12\\
2x - 3y &=& 19.
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le quadrilatère ABCD représenté ci-dessous est un rectangle.

M est un point de la diagonale [DB].

Les droites (SQ) et (AB) sont parallèles.

Les droites (PR) et (AD) sont parallèles.

Il n'est pas demandé de refaire la figure sur la copie.

\begin{center}
\psset{unit=1.15cm}
\begin{pspicture}(4,2.4)
\psframe(0.2,0.2)(3.8,2.2)%ABCD
\psline(0.2,0.2)(3.8,2.2)%DB
\psline(0.2,1.6)(3.8,1.6)%SQ
\psline(2.72,2.2)(2.72,0.2)%PR
\uput[ul](0.2,2.2){A} \uput[ur](3.8,2.2){B} \uput[dr](3.8,0.2){C}
\uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[ul](2.72,1.6){M} \uput[u](2.72,2.2){P}
\uput[r](3.8,1.6){Q} \uput[d](2.72,0.2){R} \uput[l](0.2,1.6){S}
\end{pspicture}
\end{center}
\smallskip

Justifier les égalités suivantes :

\begin{center}$\dfrac{\text{MD}}{\text{MB}}= \dfrac{\text{MS}}{\text{MQ}}$\quad  et \quad $\dfrac{\text{MD}}{\text{MB}}= \dfrac{\text{MR}}{\text{MP}}$\end{center}

Montrer que les rectangles APMS et MQCR ont la même aire.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
SABC est une pyramide dont toutes les arêtes mesurent $8$~cm. 

On ne demande pas de refaire sur la copie la figure ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,3.1)
\pspolygon(2.1,5)(0.2,2.6)(1.7,0.2)(4.7,2.6)(2.1,5)(1.7,0.2)%SABCSB
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.6)(4.7,2.6)
\uput[l](0.2,2.6){A}\uput[d](1.7,0.2){B}\uput[r](4.7,2.6){C}\uput[u](2.1,5){S}
\psdots(0.95,1.4) \uput[dl](0.95,1.4){I}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des faces ABC, SAB, SBC et SAC ?
\item Les constructions suivantes seront faites à la règle et au compas. Les traits de construction resteront visibles sur les figures. On ne fera aucun calcul préalable.

Le point I est le milieu du segment [AB].

\medskip

\textbf{Figure 1}

Construire, en vraie grandeur, le triangle ABC. 

Placer le point I.

Tracer le segment [CI].

\medskip

\textbf{Figure 2}

Construire, en vraie grandeur, le triangle SAB. 

Placer le point I.

Tracer le segment [SI].

\medskip

\textbf{Figure 3}

Construire, en vraie grandeur, le triangle SIC.
\item Calculer CI et vérifier sur la figure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

L'unité de longueur utilisée dans ce problème est le centimètre.

Deux cercles $C$ et $C'$ ont le même centre O, et leurs rayons respectifs sont 6 et 2.

Une droite $D$ passant par O coupe C en M et N et coupe $C'$
en M$'$ et N$'$ (M, M$'$, N$'$, N sont dans cet ordre sur D).

A est un point de $C$ tel que NA $= 4$.

Faire une figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AM) et (AN) sont perpendiculaires et calculer AM (on donnera la valeur exacte).
\item Soit T le projeté orthogonal de O sur la droite (AM).

Que représente le point T pour le segment [AM] ? Calculer CT.

Montrer que la droite (AM) est tangente au cercle $C'$ en T.
\item La tangente en N$'$ au cercle $C'$ coupe la droite (AM) en K. 

En utilisant les triangles MAN et MN$'$K, exprimer de deux façons différentes : $\tan \widehat{\text{AMN}}$. 

En déduire KN$'$.
\end{enumerate}
\end{document}