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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1996}
\lfoot{\small Créteil--Paris--Versailles}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Brevet Créteil--Paris--Versailles septembre 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer, puis simplifier :

\[A = \dfrac45 - \dfrac32 \qquad B = \dfrac{21}{13} : \dfrac{14}{52}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer C et donner le résultat sous la forme $m \sqrt p$, où $m$ et $p$ sont des nombres entiers :

\[C = 3\sqrt{27} + 4\sqrt{12} - 2 \sqrt{75}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $D = (3x - 1)^2 - (3x - 1)(x + 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer la valeur de $D$ lorsque $x = \sqrt 3$. (On mettra le résultat sous
la forme $q + r\sqrt{3}$, où $q$ et $r$ sont des nombres entiers.)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip
Résoudre l'équation:
\[(3x - 1)(2x - 3) = 0.\]

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 4y &=& 30\\
2x + 3y &=& 21
\end{array}\right.\]

\item Madame Sourire et Madame Grincheux vont au marché.

Madame Sourire achète 3 kg de tomates et 4 avocats; eUe paie 30 francs.

Madame Grincheux achète 2 kg de tomates et 3 avocats ; eUe paie 21 francs.

On appelle $x$ le prix d'un kilogramme de tomates et $y$ le prix d'un avocat. 

Traduire les hypothèses, et en déduire le prix d'un kilogramme de tomates et le prix d'un avocat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J) (unité graphique: 1 cm). 

On utilisera une feuille de papier millimétré, et on complètera la figure au fur et à mesure de l'énoncé.

\begin{enumerate}
\item Placer les points: A(1~;~4), B(5~;~2).
\item Montrer qu'une équation de la droite (AB) est : $y  - \dfrac12x + \dfrac93$.
\item Soit C le point d'intersection de la droite (AB) avec l'axe des abscisses. Calculer les coordonnées de C.
\item Soit le point E(1~;~6). Écrire une équation de la droite $\Delta$ parallèle à la droite (AB) et passant par le point E. Tracer $\Delta$.
\item Calculer les coordonnées du point K, milieu du segment [AB]. 
\item Donner une équation de la médiatrice $D$ du segment [ABj. Tracer $D$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(6,2.4)
%\psgrid
\psframe(0.7,0.6)(4.7,1.5)
\psline(4.7,0.6)(5.5,1.3)(5.5,2.2)(4.7,1.5)
\psline(5.5,2.2)(1.5,2.2)(0.7,1.5)
\psellipse(1.8,1.8)(0.4,0.2)\psline[linestyle=dashed](1.4,1.8)(1.8,0.8)(2.2,1.8)
\psellipse(3,1.8)(0.4,0.2)\psline[linestyle=dashed](2.6,1.8)(3,0.8)(3.4,1.8)
\psellipse(4.2,1.8)(0.4,0.2)\psline[linestyle=dashed](3.8,1.8)(4.2,0.8)(4.6,1.8)
\psline[linestyle=dashed](0.7,0.6)(1.5,1.3)(5.5,1.3)
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.3)(1.5,2.2)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.7,0.4)(4.7,0.4)\uput[d](2.7,0.4){90 cm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,0.6)(0.5,1.5)\rput{90}(0.3,1.05){20 cm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.9,0.6)(5.7,1.3)\uput[dr](5.3,0.85){30 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

Un récipient en matière plastique a été fabriqué à partir d'un pavé droit dont on a retiré 3 cônes de révolution.

La base du pavé droit a pour dimensions $90$ cm et $30$ cm. Sa hauteur est $20$ cm.

Les bases des cônes sont des cercles de diamètre $20$ cm. Elles sont situées dans la face supérieure du pavé. Les sommets des cônes sont situés sur la base inférieure du pavé.

Calculer le volume de ce récipient (on donnera le résultat arrondi au cm$^3$ près).

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Toutes les réponses devront être justifiées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un segment [AB] de longueur $10$ cm. (Le placer vers le centre de la feuille.)

Placer le point H sur [AB] tel que AH $= 4$.

Construire le cercle de diamètre [HBJ et placer sur ce cercle un point D tel que DB $= 3$.
\item Quelle est la nature du triangle DBH ?
\item La droite (HD) coupe le cercle de diamètre [AH] au point C.

Montrer que les droites (AC) et (DB) sont parallèles.
\item Calculer les longueurs AC, CH et HD. On donnera les valeurs exactes.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{DHB}}$.
\item La droite perpendiculaire à [AB] en H coupe la droite (DB) en E, et la droite parallèle à la droite (CD) passant par A coupe (DB) en K. 

Quelle est la nature du quadrilatère AKDC ?
\item Les droites (AK) et (EH) se coupent en J.

Que représente le point J pour le triangle AEB ?

Montrer que la droite (BJ) est perpendiculaire à la droite (AE).
\end{enumerate}
\end{document}