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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Dakar}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dakar juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit les fonctions $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, telles que 
\[\begin{array}{l c l}
f(x)& =&(2x + 2)^2-(x - 1)^2 \:\: \text{et}\\
g(x)&=&(3x + 1)^2 - (3x + 1)(x -1).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Soit $h$ la fonction, $\R$ dans $\R$, telle que
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $h$. 

Simplifier $h(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $h(x ) = 2$.
		\item Représenter graphiquement dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_1\right)$ d'équation respective
\begin{center}$y = x + 3$ \quad et \quad $y = 2x + 4$.\end{center}

Vérifier graphiquement le résultat obtenu à la question \textbf{a.}
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $h(x) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\emph{Le candidat fera pour ce problème une figure soignée}

\medskip

Soit dans le plan euclidien muni du repère orthonormé \Oij{} les points A, B et C de coordonnées respectives $(0~;~-1)$, $(4~;~-1)$ et (2~;~5).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(B, C) et $d$(C, A).
		\item En déduire la nature du triangle (A, B, C).
		\item Déterminer les coordonnées de H, projection
orthogonale de C sur la droite (AB).
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle passant par les trois points A, H et C.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du centre P du cercle $\mathcal{C}$ et calculer son rayon ; donner une valeur approchée du rayon à $10^{-1}$ près par défaut.
		\item Le cercle $\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées en deux points A et K.
		
Déterminer la nature du triangle (A, K, C).

En déduire les coordonnées du point K.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point G tel que $\vect{\text{HC}} = 3\vect{\text{HG}}$.
		\item Démontrer que les points P, G et B sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}