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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dakar}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dakar juin 1958}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère l'expression

\[A=(x + 3)\left(4x^2 + 9\right) - 12x^2 - 36x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A$ sous la forme d'un produit de deux
facteurs dont l'un est $x + 3$ ; on montrera que l'autre
est le carré d'une fonction du premier degré par rapport à $x$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A = 0$ ; a-t-on $A = (2x - 3)^2$ ?
\item Simplifier la fraction $y = \dfrac{(x + 3) (2x - 3)^2}{6x(x + 3) - 9 (x + 3)}$.
\item Représenter graphiquement les variations de la fonction $y$ ainsi obtenue.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

À l'intérieur d'un demi-disque de diamètre [AB] et de centre O on trace deux rayons perpendiculaires [OC] et [OD] de façon que les points se succèdent, sur le demi-cercle, dans l'ordre suivant : A, C, D, B.

Les droites (AC) et (BD) se coupent en M (à l'extérieur du cercle) ; les droites (AD) et (BC) se coupent en P (à l'intérieur du demi-disque).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ACP ; du triangle ADM ?

En déduire une relation entre les quatre longueurs AC, AM, AP{}, AD.
\item Quel est le lieu du point M lorsque l'angle droit $\widehat{\text{COD}}$ tourne autour du point O ?

Limiter le lieu , en supposant que le rayon [OC] tourne depuis la position [OA] jusqu'à la position perpendiculaire à [AB].
\item Montrer que le quadrilatère CMDP est inscriptible dans le cercle de diamètre [MP].

À quel côté de polygone régulier inscrit la corde [CD] est-elle égale dans le cercle de diamètre [AB] ; dans le cercle de diamètre [MP] ?

Que peut-on dire des segments [AB] et [MP] ?

Comparer leurs longueurs et étudier l'angle qu'ils forment.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} La question 3. est indépendante de la question 2.
\end{document}