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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dakar}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dakar juin 1959}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produits de facteurs les trois expressions suivantes:
\[\begin{array}{l}
9x^2 - 6x + 1 ;\\ 
x^2 - 4x + 4;\\
5(x - 2) - x (x - 2).
\end{array}\]
en profiter pour simplifier l'expression ci-dessous constituée par le produit de trois fractions:

\[\dfrac{9x^2 - 6x + 1}{5 - x} \times \dfrac{5(x - 2)- x(x - 2)}{x^2 -4x + 4}\times \dfrac{1}{3x - 1}\]
\item Soit $E(x)$ l'expression ainsi simplifiée.

Calculer la valeur numérique de $E(x)$ :
	\begin{enumerate}
		\item pour $x = \dfrac13$ ;
		\item pour $x = 2$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&\phantom{-}3x - 1,\\
y&=&-2x + 4.
\end{array}\right.\]

Expliquer pourquoi cette résolution permet de retrouver le dernier résultat de la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soient deux droites perpendiculaires O$x$ et O$y$ se coupant en O.

On prend sur O$x$ de part et d'autre de O les deux points A et B tels que OA $= 2$~cm, 

OB $= 5$~cm.

Soit M un point pris sur la médiatrice de [AB].

Les droites (MA) et (MB) coupent respectivement O$y$ en C et D.

On appelle E le milieu de [CA] et F le milieu de [DB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des triangles MAB, BOF, OEA ?

Montrer qu'ils sont semblables et donner les valeurs des rapports de similitude des triangles pris
deux à deux.
\item Démontrer que [EF] et [MO] se coupent en leur milieu,
\item La droite (EF) coupe O$x$ en P.

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{PO}}{\text{PA}}$.

Calculer PO.

Que peut-on dire de la droite (EF) quand le point M se déplace sur la médiatrice de [AB] ?
\end{enumerate}
\end{document}