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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Dakar}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dakar juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

,
Soit $f$ et  $g$ les fonctions polynôme :
\[\begin{array}{l l c l l c l}
f :&\\R&\to &\R,\quad &x&\longmapsto& x^2- 4x + 4\\
g :&\R&\to& \R, \quad &x&\longmapsto&2x^2 - 8 - (x - 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations :
\begin{center}$g(x)= 0$\quad et \quad $f(x) = g(x)$.\end{center}
\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$ et sachant que 
\[1,732 <\sqrt 3 < 1,733,\]

donner un encadrement de $f\left(\sqrt 3\right)$ d'amplitude $2 \cdot 10^{-2}$.

Soit
\[h : \R \to \R,\quad  x \longmapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_h$ de la
fonction $h$. 

Simplifier $h(x)$. 

Résoudre dans $\R$,
\begin{center}$h(x) = 0$ et $h(x) = \dfrac{1}{h(x)}$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\bigskip

Soit $($P) un plan euclidien et $(D)$ une droite de $(P)$ munie d'une graduation de repère (O,~I). On note $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit (A,~B) $\in (D) \times (D)$.

A a pour abscisse $(-4)$ et B a pour abscisse $4$.

Déterminer l'abscisse du point M de $(D)$ tel que
\[\overline{\text{MA}} +3\overline{\text{MB}} = 0.\]

Vérifier que M est le milieu de (O,~ B).

Calculer MA et MB.
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [A, B] : soit C et E les points d'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et de la perpendiculaire à la droite (AB) contenant M.

Montrer que (O, C, B) est un triangle équilatéral.

En déduire alors CM et CA.
\item Calculer $\sin(a),\: \cos(a)$ et $\tan(a)$,\: $a$ étant l'écart angulaire de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$.
\item On considère le repère orthonormé \Oij{} tel que C ait une ordonnée positive.

Quelles sont le coordonnées de C ?
\item On appelle A$'$ et C$'$ les images de A et C dans la symétrie centrale de centre B.

Déterminer le coordonnées des points A$'$ et C$'$ puis donner l'équation de la droite (A$'$C$'$).
\end{enumerate}
\end{document}