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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dakar}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dakar octobre 1957}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un trapèze ABCD dont les côtés parallèles sont [AB] et [DC].

Les mesures des côtés successifs sont AB $= 2$~cm, BC $= 7$~cm, CD $= 6$~cm, DA $= 5$~cm.

Un point M variable décrit le segment [AD] ; la parallèle à (AB) menée par M coupe le côté [BC] en N.

On pose AM $= x$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ le périmètre $y$ du trapèze ABNM. (Il pourra être utile de tracer la parallèle à (AD) menée par B.)
\item Étudier la variation de la fonction $y$ lorsque M décrit [AD] ; représenter graphiquement cette variation.
\item Utiliser le graphique ainsi obtenu pour résoudre les questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur de $y$ pour $x = 4$~cm?
		\item Quelle est la valeur de $x$ qui fait prendre à $y$ une valeur donnée $p$ ?
Comment faut-il choisir $p$ pour qu'on puisse évaluer $x$ ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ la somme $x + y$ est-elle égale à $10$~cm ?
		
(On justifiera brièvement les mesures et les constructions que l'on doit effectuer sur le graphique pour répondre à ces trois dernières questions.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur une droite $(D)$, on considère trois points fixes A, P, B (P entre A et B).

On désigne par $(\mathcal{C})$ un cercle variable de centre O, passant par les points fixes A et B.

La perpendiculaire abaissée de P sur le diamètre du cercle $(\mathcal{C})$ issu de A (soit [AD] ce diamètre) coupe ce diamètre au point H et le cercle $(\mathcal{C})$ aux points M et M$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle AMM$'$ ?

Établir que
\begin{center}AM$^2$ = AH $\cdot$ AD.\end{center}
\item Quelle particularité présente le quadrilatère PHDB ?

Établir que 
\begin{center}AP $\cdot$ AB = AH $\cdot$ AD.\end{center}
\item Déduire des résultats précédents le lieu des points M et M$'$.

On montrera qu'on peut construire ce lieu avec précision.
\end{enumerate}
\end{document}