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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Dakar}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dakar septembre 1958}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Un fil élastique [AB], d'une longueur de $8$~cm lorsqu'il est détendu, est attaché à un point fixe par son extrémité A et pend verticalement.

À l'extrémité B on suspend successivement différents poids (B se déplace. alors sur la verticale du point A) et l'on constate que l'allongement du fil est proportionnel au poids suspendu, à condition que ce dernier soit inférieur à $4$ kg (au-delà de 4 kg l'allongement n'est plus proportionnel au poids).

Pour un poids de $3$ kg, on constate que l'allongement est $9$ cm. On désigne par $y$ la longueur du fil exprimée en centimètres et par $x$ le poids mesuré en kilogrammes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La longueur du fil est une fonction du poids.

Quelle est la nature de cette fonction ? Quelle est la longueur du fil quand un poids de $1$ kg est suspendu en B ?

Établir l'expression de $y$ en fonction de $x$ ; pour quelles valeurs de $x$ cette expression est-elle valable ?
\item Représenter graphiquement, par rapport à deux axes rectangulaires O$x$ et O$y$, les variations de la longueur du fil en fonction du poids (chaque kilogramme sera représenté sur O$x$ par une longueur de 2 cm).
\item Utiliser le graphique pour déterminer les différents poids suspendus en B, sachant que le fil prend successivement les longueurs suivantes : 12 cm, 22 cm, 6 cm.

Justifier brièvement les trois réponses.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de diamètre fixe [AB] et une corde [CD] perpendiculaire à (AB) en un point fixe H.

Soit M un point variable sur le petit arc $\widearc{\text{CB}}$.

La droite (CD) coupe (AM) au point N et coupe au point T la tangente
au cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la position de [MA) par rapport à l'angle $\widehat{\text{CMD}}$ ?

Montrer que le triangle TMN est isocèle.
\item Démontrer que 
\begin{center}
MA $\times$ MN = MC $\times$ MD.
\end{center}
\item Montrer que les points B, M, N, H sont sur un même cercle de centre I.

Lieu de I quand I parcourt l'arc $\widearc{\text{CB}}$.

Comment faut-il choisir le point H pour que le rayon du cercle de centre I puisse prendre la valeur $\dfrac{\text{BH} \sqrt 2}{2}$ quand M parcourt l'arc $\widearc{\text{CB}}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}