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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small septembre 1993}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon septembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

%\textbf{Exercice 1}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer (le résultat sera donné sous forme d'une fraction aussi simplifiée que possible) :
\[A = \dfrac53 - \dfrac13 \times \dfrac27, \qquad B = \dfrac{4}{11} : \dfrac83.\]

D = 5 - 3.J3.
\item On donne :
\[C = 2 - \sqrt 3, \qquad  D = 5 - 3\sqrt 3.\]

Calculer $C - D\:;\:C \times D\:;\: D^2$.

(On écrira les résultats sous la forme $a + b \sqrt 3$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs.)
\item On donne $S = \sqrt{121} - 3\sqrt{98} + \sqrt{50}$.

Écrire $S$ sous la forme $a + b\sqrt 2$ ($a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $9x^2 - 1$.
		\item En déduire la factorisation de l'expression:
\[9x^2 - 1 - (3x + 1)(x + 5).\]
		\item Résoudre l'équation :
\[(3x + 1)(2x - 6) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Julien a acheté 3 pin's et 4 autocollants pour $99$ francs.

Sa sœur Claudia a payé $68$ francs pour 2 pin's et 3 autocollants.

On désignera par $x$ le prix de chaque pin's et par $y$ le prix de chaque autocollant.

Mettre le problème en équation puis calculer le prix d'un pin's et celui d'un autocollant.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Dans cette figure, ABCD est un trapèze inscrit dans un cercle :

O est le centre de ce cercle et [AB] est un diamètre.

Le rayon du cercle est de $5$~cm et AD $= 4,5$~cm.

\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.4,2.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.8,0.2)(4.2,1.8)(0.8,1.8)%ABCD
\psline(2.5,0.1)(2.5,0.3)\uput[d](2.5,0.2){O}
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](4.8,0.2){B} \uput[ur](4.2,1.8){C} \uput[ul](0.8,1.8){D}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser la figure exacte.

On la complétera au fur et à mesure des questions.
\item Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle.
\item Calculer la valeur de l'angle $\widehat{\text{DBA}}$ à un degré près. 

En déduire la  valeur de l'angle $\widehat{\text{DOA}}$. Justifier chaque réponse.
\item Soit E le milieu de [OB]. Tracer la droite parallèle à la droite (BD), passant par le point E. 

Elle coupe le segment [AD] en un point K.

Calculer la longueur AK à $0,1$ cm près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal dont l'unité est le centimètre, placer les points 
\begin{center}A(4~;~3) \quad ; \quad B$(- 2~;~0)$ \quad et \quad C$(1~;~- 3)$.\end{center}

On donne BC $= 3 \sqrt 2$ et CA $= 3 \sqrt 5$.
\item Calculer la valeur exacte de la longueur AB.
\item Démontrer que le triangle ABC est isocèle.
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC] et placer
M.
\item Calculer la valeur exacte de AM et l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On dispose d'un bassin de forme parallélépipédique :

longueur : 10 m, largeur : 4 m, profondeur 3~m.

Calculer le volume total du bassin en m$^3$.
\item On verse de l'eau jusqu'aux trois quarts.

Quelle quantité d'eau le bassin contient-il ? en m$^3$ ? en litres ?
\item On désigne par $x$ la distance qui sépare le niveau de l'eau du bord supérieur du bassin.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ la hauteur de l'eau en mètres dans le bassin.
		\item Exprimer en fonction de $x$ le volume de l'eau en m$^3$ (on appelle $v_1$ ce volume).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement le volume $v_1$ en fonction de $x$ soit 
		\[v_1(x) = - 40x + 120\]
en abscisse 2 cm pour représenter $1$~m ; en ordonnée $5$~mm pour représenter 10~m$^3$ ; on limitera le graphique aux valeurs possibles de $x$.
		\item Utiliser ce graphique pour répondre aux questions suivantes :
\begin{itemize}
\item Pour quelle valeur de $x$ le volume d'eau est-il de $50$~m$^3$ ?
\item Quel est le volume d'eau si $x = 1,5$~m ?
\end{itemize}
		\item Vérifier les résultats du b. par le calcul.
	\end{enumerate}
\item On dispose d'un autre bassin de forme parallélépipédique :

longueur : 5 m, largeur : 4 m, profondeur: 4 m.
	\begin{enumerate}
		\item $x$ désignant toujours la distance en m qui sépare le niveau de l'eau du bord supérieur du bassin,  exprimer en fonction de $x$ le volume $v_2$ d'eau contenu dans ce bassin en m$^3$. 
		\item Représenter sur le graphique précédent $v_2$ en fonction de $x$ (on limitera le graphique aux valeurs possibles de $x$).
		\item Utiliser le graphique pour répondre à la question suivante :
\begin{itemize}
\item Pour quelle valeur de $x$ les deux bassins contiennent-ils la même quantité d'eau ?
\item Vérifier par le calcul le résultat précédent obtenu graphiquement.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}