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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne le rationnel $r = \dfrac{105}{273}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire ce rationnel sous forme irréductible.
\item Trouver une écriture de $r$ :
	\begin{enumerate}
		\item dont le numérateur soit $-85$,
		\item dont le dénominateur soit $247$.
	\end{enumerate}
\item  Peut-on trouver une fraction de dénominateur $236$ parmi les écritures de $r$ ? 

Pourquoi ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les polynômes 

\[\begin{array}{l c l}
P&=& (2x + 1)^2  - (2 - 3x)^2 \: \text{et}\\
Q&=&\left(1 - x\sqrt 5 \right)\left(1 + x \sqrt 5 \right).
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $P$ et $Q$.
		\item Former le polynôme $R = \dfrac14(P - Q)$.
		
Quel est son degré?
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction rationnelle de la variable réelle $x$ donnée par

\[f(x) = \dfrac{4x-1}{\left(\sqrt 5 - 1\right)x - 1,2}.\]

On demande de calculer, si elle existe, l'image par $f$ du nombre réel

\[x = \dfrac{1}{\sqrt 5 - 1}.\]

puis, sachant que $2,236< \sqrt 5 < 2,237$, de donner une
valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Faire une figure (unité = 1~cm).

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, on place les trois points A, B et C de coordonnées

\begin{center}A$(-1~;~-2)$, \qquad  B(4~;~1), \qquad C$(-4~;~3)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(A, B); $d$(B, C) et $d$(A, C).

En déduire que le triangle (A, B, C) est rectangle, isocèle.
\item Construire le point D tel que $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$ et montrer que (A, B, D, C) est un carré.
\item Soit I le centre du carré (A, B, D, C) et E la projection orthogonale de I sur le côté AB.

Quelle est la valeur absolue du rapport de projection orthogonale de la droite (CI) sur la droite (AE) ?
\item  Montrer que la droite (IE) est la médiatrice du segment [AB].

On considère la symétrie orthogonale par rapport à la droite (IE).

Donner successivement les images des droites (AC)
et (BC), puis du triangle (A, B, C) dans cette symétrie.
\item Nommer une autre isométrie qui transforme A en B.

Quelle est alors l'image de C par cette isométrie ? 

Construire l'image du triangle (A, B, C) dans cette isométrie.
\end{enumerate}
\end{document}