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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[f(x )= - \dfrac12 x + \dfrac32.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(-9)$ et $f(3)$.
		\item Déterminer le sens de variation de cette fonction.
		\item Construire la représentation graphique $(D)$ de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} d'axes O$x$ et O$y$ (unité : le centimètre).
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[g(x) = 2x + 5.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'antécédent de chacun des réels : 0
et $5$ ?
		\item Déterminer le sens de variation de $g$.
		\item Construire sa représentation graphique dans le même repère.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation 
		\[|2x + 5| = 2x +5\]
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $h$, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[h(x)= |2x + 5|.\]
		\item Construire la représentation graphique de $h$
dans le même repère (utiliser une couleur différente). 
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation
\[|2x + 5| = - \dfrac12 x + \dfrac32.\]
	\end{enumerate}
\item Quelle est la fonction affine dont la représentation graphique est la droite $(\Delta)$ parallèle à $(D)$ et passant par le point de l'axe O$y$ et l'ordonnée 2,2 ?
\item Représenter graphiquement (sur un autre graphique) la fonction affine par intervalles $F$ définie sur $[-9~;~11]$ par

\renewcommand\arraystretch{2.1}
\[\begin{array}{l l}
x \in \left[-9~;~- \dfrac{13}{3}\right]&F(x) = f(x);\\
x \in \left[-9~;~- \dfrac{13}{3}\right]&F(x) = h(x);\\
x \in \left[-9~;~- \dfrac{13}{3}\right]&F(x) = 2,2;\\
x \in  [0~;~11]&F(x) = - \dfrac12 x + \dfrac{11}{5}.
\end{array}\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien $(P)$, on considère un triangle (A, B, C) rectangle en B, tel que

$d$(A, B) = AB $= 2$,\: $d$(B, C) = BC $= 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure soignée en prenant comme unité de mesure des longueurs le centimètre. Cette figure sera complétée au cours du problème.
		\item Calculer le nombre $d$(A, C) = AC.
	\end{enumerate}
\item On considère le point D tel que B soit un point
du segment de droite [AD] et tel que $d$(A, D) = AD $= 8$.

Soit E le point de Ia droite (AC) dont la projection orthogonale sur la droite (AB) est D.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles et en déduire, en appliquant l'axiome de Thalès, que d(A, E) = AE $= 4\sqrt 5$.
		\item Calculer le nombre d(D, E) = DE.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la médiatrice $(\Delta)$ du segment [AE].
		
Placer le point I, milieu du bipoint [AE].
		\item Construire le point F situé sur $(\Delta)$, dans le demi-plan ayant pour frontière la droite (AE), ne contenant pas D, et tel que $d$(I, F) = $d$(I, A).

Démontrer que le triangle (A, F, E) est rectangle et isocèle de sommet F.
		\item Construire le cercle $\mathcal{C}$ de centre I, de rayon IA.

Démontrer que les points D, E, F appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
		\item Calculer l'aire du disque $\mathcal{D}$ ayant pour frontière le cercle 	$\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}