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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Mettre sous la forme d'un produit de
polynômes du premier degré chacun des polynômes suivants:
\[\begin{array}{l}
4 - x^2 + 3(x - 2) ;\\
3(x - 1)(1 - 2x) + 5x(x - 1).
\end{array}\]
		\item Vérifier que le polynôme 
\[3(x - 1)(1 - 2x)+ 5x(x - 1) - 4 + x^2 + 3(2 - x)\]

est un polynôme du premier degré.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction rationnelle $f$ de la variable $x$ donnée par
\[f(x) = \dfrac{(x - 1)(3 - x )}{ (x -2)(1 - x)}.\]

Calculer $f\left(\dfrac{10}{22}\right)$.

Sachant que $\np{2,44948} < \sqrt 6 < \np{2,44949}$ démontrer 'que
\[\np{-1,22475} <f\left(\sqrt 6\right) < \np{-1,22474}.\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{-}x + y &=&3,\\
-x + y &=& -2.
\end{array}\right.\]

		\item Représenter graphiquement dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ les fonctions affines $g$ et $h$ données par
\begin{center}$g(x)= 3 - x$\quad  et \quad $h(x) = x - 2$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection
des droites représentatives de ces deux fonctions ?
	\end{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ chacune des inéquations suivantes:

$-3 + x < -x + 2 \:; $

$3 - x < - x + 2 \:; $

$|3 - x | < - x + 2.$

Rappel: $|3 - x|$ désigne la valeur absolue de $3 - x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni du repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C tels que
\[\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} + \vect{\jmath}, \qquad  \vect{\text{OB}} = \vect{\imath} - \vect{\jmath}, \qquad \vect{\text{OC}} = -\vect{\imath} + 5\vec{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la norme de chacun des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{CA}}$. 

Démontrer que le triangle (B, A, C) est un triangle rectangle.
\item Démontrer que les droites (OB) et (BA) sont perpendiculaires.
\item Soit I le milieu du segment [BC]. 

Calculer les coordonnées du point I.
\item La médiatrice du segment [BC] coupe la droite (AC) en H et la droite (BA) en D.

 La droite (OB) coupe la droite (DI) en M. 
 
 Démontrer que I est le milieu du segment [MH].
 
 Démontrer que (B, M, C, H) détermine un losange.
\item On appelle $S$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite (ID).
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les images par la symétrie $S$ des points B, D, H ?
		\item Quelles sont les images par la symétrie $S$ de droites (BC), (BD) et (CH) ?
		
Démontrer que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires,
		\item On appelle E l'image du point A par la symétrie
$S$. 

Démontrer que E est le point d'intersection des droites (CD) et (BH).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}