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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculs numériques :

Calculer

\begin{enumerate}
\item $\left(\sqrt 5 - 1 \right)^2$.

En déduire une écriture simplifiée de $\sqrt{6 - \sqrt 5}$.
\item $\left(\sqrt 7 + \sqrt{11}\right)^2$.

En déduire une écriture simplifiée de $\sqrt{18 + 2\sqrt{77}}$.
\item $\left(\sqrt{7 + 3\sqrt 5} - \sqrt{7 - 3\sqrt 5}\right)^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant:

\renewcommand\arraystretch{2.1}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
- \dfrac x3 + \dfrac y2&=&1\\
\phantom{-}\dfrac x6 + \dfrac y9&=& 1.
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{enumerate}

Soit les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, données par

\begin{center}$f(x) = 2\left(\dfrac x3 + 1\right)$\quad et \quad $g(x) = 9\left(1 - \dfrac x6\right)$\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Représenter graphiquement les applications $f$ et $g$ dans le même plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.

Montrer que les droites représentatives des applications $f$ et $g$ passent par un même point I dont on précisera les coordonnées.
\item Calculer la distance OI du point O au point I.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans le problème, l'unité est le centimètre.

[MN] désigne le segment d'extrémités M et N ; MN désigne la distance du point M au point N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On construit un triangle ABH rectangle en H tel
que BH $= 5$ et AB $= 10$.

Vérifier que AH $=5\sqrt 3$.
\item Soit C le symétrique de B par rapport à H.

Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item On construit le carré HBDE tel que E soit un point du segment [HA].

Soit F le point d'intersection des droites (AB) et (DE).

Calculer BF{}, puis DF{}.
\item Soit G le symétrique de F par rapport à la droite (EB) dans la symétrie  orthogonale d'axe (EB).

Montrer que $3\vect{\text{HG}} = \vect{\text{HA}}$.
\item Calculer GA, GB et GC.

Que peut-on en déduire pour le cercle $\mathcal{C}$ de centre G et de rayon $\dfrac{10 \sqrt 3}{3}$ ?

Le cercle $\mathcal{C}$ passe-t-il par le point D ?
\end{enumerate}
\end{document}