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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dijon }}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les polynômes

\[\begin{array}{l c l}
A &=&xy + y + x + 1,\\
B &=&- xy + y - x + 1,\\
C &=&- x^2y- x^2 + y + 1,\\
D &=&x^2y + x^2 + 2xy + 2x + y + 1.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On remplace $y$ par $a - 1$ ($a$ nombre donné différent de + 1).

Les polynômes $A, B, C, D$ s'expriment alors en fonction de $a$ et de $x$.

Écrire ces expressions.
\item Exprimer le rapport $z = \dfrac{A}{B}$ et $z' = \dfrac{C}{D}$ en fonction de $x$ seul.

On trouvera $z = \dfrac{1 + x}{1 - x}$.

Quelle relation a-t-on entre $z$ et $z'$ ?

Cette relation est-elle valable pour toute valeur de $x$ ?
\item On suppose que $z$ a une valeur donnée $m$. Quelle est la valeur correspondante, $x_1$ de $x$ ?

Si $z$ reçoit la valeur $\dfrac 1m$, quelle est la valeur correspondante, $x_2$ de $x$ ?

Quelle relation existe-t-il entre $x_1$ et $x_2$ ?

\emph{Application }: $m = \sqrt 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un losange OABC, tel que OA $= a$ et  $\widehat{\text{AOC}} = 60\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le cercle circonscrit au triangle ABC est tangent à (OA) et à (OC).

Déterminer son rayon en fonction de $a$.
\item Un point M décrit sur le cercle l'arc $\widearc{\text{AC}}$ inférieur à $180\degres$.

On trace la corde [MN] \emph{parallèle} à [OC] et la corde [MP] \emph{parallèle} à [OA].

La corde [NP] varie en position. Que peut-on dire de sa longueur ?

Quel est le lieu de son milieu, M$'$ ?
\item Les bissectrices intérieures des angles $\widehat{\text{N}}$ et $\widehat{\text{P}}$ du triangle MNP passent chacune par un point fixe.

Le démontrer.

Elles se coupent en I.

Montrer que l'angle qu'elles forment est constant.

Lieu du point I.
\item La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{M}}$ du triangle
MNP coupe le cercle ABC en F{}.

Calculer à 1 mm$^2$ près, pour $a = 3$~cm, l'aire balayée par la corde [MF] lorsque 
M décrit $\widearc{\text{AC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}