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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit le polynôme
\[P = 8x^3 + 4x^2 - (2x + 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $P$ sous la forme d'un produit de trois facteurs du premier degré.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $P = 0$ ?
\item Simplifier la fraction
\[\dfrac{P}{ (2x + 1)(x - 3)}\]
et calculer la valeur de cette fraction d'abord pour $x = 1$, puis pour $x = \dfrac12$.

Que se passe-t-il pour $x = 3$ ?
\item Soit $y = \dfrac{P}{4x^2 - 1}$.

Simplifier cette expression.

Étudier la fonction $y$ de $x$ ainsi obtenue et la représenter graphiquement.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un segment [AB] tel que AB $= 4a$, ($a$ étant une longueur donnée).

M le point situé sur [AB] tel que AM $= 3a$.

Soit P le point situé en dehors de [AB], qui partage [AB] dans le même rapport que M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item [PT) étant une tangente menée de P au cercle de diamètre [AB] et de centre O, préciser la nature du triangle OTP et calculer la valeur de ses angles, ainsi que celle de ses côtés, en fonction de $a$.

Comparer les triangles OTP et ATB.
\item Montrer que les triangles TBP et ATP sont semblables.

Montrer que (TM)] est une hauteur pour les triangles TBP, ATP et ATB.
\item Montrer que [TB) et [TA) sont les bissectrices de l'angle $\widehat{\text{MTP}}$.
\end{enumerate}
\end{document}