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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre graphiquement le système suivant:
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)& y_1 &=& -3x + 4,\\
(2)& y_2 &=& 3x - 1.
\end{array}\right.\]

(Échelle du graphique : 1 cm par unité.)
		\item Soit H le point d'intersection des deux droites $D_1$ et $D_2$ d'équations respectives (1) et (2.)
		\item Vérifier par le calcul les résultats obtenus pour les coordonnées du point H.
	\end{enumerate}
\item On désigne par A et B les points d'intersection de la droite $D_1$ avec O$x$ et O$y$ (A sur O$x$, B sur O$y$), par C et D les points d'intersection de $D_2$ avec O$x$ et O$y$ (C sur O$x$, D sur O$y$).
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points A, B, C, D.
		\item Calculer BD et BC.
		\item Que peut-on dire du triangle OBC et du point A pour ce triangle ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer la tangente de l'angle $\widehat{\text{OBH}}$ ; en déduire le cosinus et le sinus de cet angle, la valeur de DH et celle de BH.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$.

D'un point P, situé sur le prolongement de [OA] du côté de A, tel que OP $= R\sqrt 5$ on mène une tangente (PC) à ce cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner correctement les constructions de
\begin{center}OP $= R\sqrt 5$\end{center}
et de la tangente (PC) au cercle (O).
\item H étant le pied de la perpendiculaire menée de C sur (AB), calculer PC et CH en fonction de $R$.

Montrer que les deux triangles PAC et PCB sont semblables.

En déduire la valeur du rapport $\dfrac{\text{}}{\text{}}$ et calculer CA et CB en fonction de $R$.
\item Sachant que $\sqrt 5 \approx 2,236 0,\: R = 5$~cm, calculer CA et CB à 1 mm près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}