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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soient deux axes perpendiculaires, sur lesquels on choisit la même unité. Construire la droite

\[y =-\dfrac12 x + 1.\]

Elle coupe O$x$ en A, O$y$ en B.
\item Soit le point C de coordonnées $(1~;~- 2)$.

Calculer AB, BC, CA et montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
\item Trouver l'équation de la droite (AC).

Montrer que le point M de coordonnées (3~;~2) est aligné avec A et C.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Sur une droite $(\Delta)$ on marque quatre points, A, B, C, D, tels que
\begin{center}AB = BC = CD $= \ell$.\end{center}
Sur $(\Delta')$, perpendiculaire à $(\Delta)$ en B, on porte un segment [BP] tel que BP $= \ell$.

Soit (CH) la perpendiculaire à (DP).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère BCHP est inscriptible dans un cercle (O) (position du centre, O).

Calculer en fonction de $\ell$ le rayon de ce cercle.
\item Montrer que (AP) est tangente au cercle (O).
\item Soit (DN) la tangente au cercle (O) coupant le prolongement de [AP] au-delà de P en M.

Calculer DN.

Montrer que le triangle AMD est isocèle et rectangle.

Calculer la longueur du côté [AM].
\item Quelle est la nature du quadrilatère PBCN ?
\end{enumerate}
\end{document}