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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{juin 1967}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1967~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression
\[A(x) = 2(x - 3)^2 - 9 + x^2 - (3 - x)(5 - x).\]

Effectuer les opérations et écrire $A(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Décomposer $A(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit la fraction $F(x) = \dfrac{2x^2 - 4x - 6}{x^2 - 9}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ est-elle définie ?
		\item Simplifier $F(x)$.
		\item Trouver la valeur numérique de $F(x)$ successivement pour:
\[x = - 1,\quad x = - 2,\quad x = \sqrt 2.\]
		\item Calculer $x$ pour que cette fraction ait pour valeur 1.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les fonction 
\begin{center}$y_1 = 2x + 2$\qquad  et \qquad $y_2 = x + 3$.\end{center}

Comment peut-on retrouver, au moyen du graphique, la valeur de $x$ telle que $F(x) = 1$ ?



\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle isocèle dans lequel la base [BC] a pour longueur BC $= 160$~mm et la hauteur [AH] a pour longueur AH $= 60$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des côtés [AB] et [AC].
\item On marque sur [BC] un point D tel que BD $= 35$~mm et sur [BA] le point E tel que BE $= 56$~mm.

Démontrer que les triangles BAC et BDE sont semblables.

Quelle est la longueur ED ?

Démontrer que le quadrilatère EACD est inscriptible.
\item Calculer AD.

Déduire du résultat que le triangle DAC est rectangle en A.

Indiquer alors le centre du cercle passant par E, A, C et D, puis calculer EC.
\end{enumerate}
\end{document}