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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

La somme des termes d'une fraction $\dfrac{A}{B}$ est \np{316293}.

On multiplie $A$ par 3 et $B$ par 2 ; le premier produit
surpasse le deuxième de \np{30609}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fraction $\dfrac{A}{B}$.
\item Démontrer que $A$ est divisible par 13.

Il suffit, pour cela, de faire la division.

On demande cependant, ici, de décomposer $A$ en une somme de trois nombres qui permette de mettre en évidence cette propriété.
\item Montrer d'une façon analogue que $B$ est divisible par 18.
\item Trouver la fraction irréductible $\dfrac{a}{b}$ égale à $\dfrac{A}{B}$.
\item On ajoute $52$ à $a$. Quel nombre, $x$, faut-il ajouter
à $b$ pour que la fraction $\dfrac{a + 52}{b + x}$ soit  égale à $\dfrac{A}{B}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Étant donné un carré ABCD dont le côté a pour mesure $a$, on construit le cercle de diamètre [AB] ; soit O le centre de ce cercle.

De C on mène la tangente à ce cercle autre que (BC) ; soit T le point de contact.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit E l'intersection des droites (AD) et (OT).

Comparer les triangles CET et CED, puis les segments [ET] et [ED].
\item Que représentent les demi-droites définies par CO et CE pour les angles $\widehat{\text{BCT}}$ et 
$\widehat{\text{DCT}}$ ?

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{OCE}}$.
\item On désigne (provisoirement) par $x$ la mesure de [DE].

Exprimer en fonction de $a$ et de $x$ les mesures des côtés du triangle OAE.

Utiliser ensuite le théorème de Pythagore pour obtenir une relation entre $x$ et $a$.

Enfin, calculer $x$ en fonction de $a$.
\item Calculer les mesures des côtés, de l'aire, puis des hauteurs du triangle COE.
\end{enumerate}
\end{document}