\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B. E. P{}. C.},
pdftitle = {Dijon juin 1969},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Dijon juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le périmètre d'un triangle ABC mesure $18$~cm.

Calculer les côtés $a, b$ et $c$ de ce triangle, sachant qu'ils sont proportionnels aux nombres 2, 3 et 4.
\item On prend sur le segment [AB] un point M tel que AM $= x$.

Par M, on mène la parallèle à (AC), qui coupe (BC) en N.

Évaluer en fonction de $x$ le périmètre du triangle BNM et le périmètre du trapèze AMNC.
\item Pour quelle valeur de $x$ ces périmètres sont-il égaux ?
\item Construire dans un système d'axes rectangulaires, l'unité de longueur étant le centimètre, les droites représentant les fonctions

\begin{center}$y =- \dfrac94 x + 18$\qquad  et\qquad $y = \dfrac34 x + 12$.\end{center}

\item Déterminer graphiquement les coordonnées de leur point d'intersection.

Quelles remarques peut-on faire en liaison avec les questions 2. et 3. ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un segment [AB] mesurant 10 cm et le point C, situé entre A et B, tel que AC $= 4$~cm.

Élever en C la perpendiculaire $(xy)$ à [AB].

Prendre sur $(xy)$ le point D tel que CD $= 2$~cm.

Soit E la projection du point B sur la droite (AD).

Les prolongements de [BE] et [BD] coupent respectivement $(xy)$ en F et (AF) en G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD.
\item Comparer les triangles ACD et AEB.

En déduire les mesures de AE et EB.

Quelle conséquence en tire-t-on pour le triangle DEB ?
\item Montrer que (BD) est perpendiculaire à (AF) et que les points A, G, E et B sont sur un même cercle, dont on précisera le centre.
\item Quelles sont les longueurs de [AG] et de [GD] ?
\end{enumerate}
\end{document}