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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner le polynôme
\[A = \left(18x^2 - 8\right) - (2x + 7)(9x - 6) - 9x^2 + 12x - 4.\]

\item Décomposer A en un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation
\[(2 - 3x)(x + 5) = 0.\]
\item On considère la fraction rationnelle
\[F= \dfrac{A}{(2 - 3x)(4x - 1)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ est-elle définie ?
		\item Simplifier $F$. Existe-t-il des valeurs numériques de $x$ pour lesquelles $F$ n'est pas égale à la fraction simplifiée, $F'$, obtenue ?
		
Si oui, lesquelles ?

Préciser dans ce cas pourquoi $F'$ n'est pas égale à $F$.
		\item Calculer la valeur numérique de $F$ pour $x = \sqrt 3$.
		
Donner du nombre irrationnel obtenu une valeur approchée à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un triangle ABC rectangle en A tel
que AB $= a$ et AC $= 2a$,\: $a$ étant une longueur donnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $a$, la mesure du segment [BC].
\item Le point M étant le milieu du segment [BC], on prolonge la médiane [AM] au-delà de M d'un segment MN $= 2$AM et l'on abaisse du point N la perpendiculaire sur la droite (AC), qui coupe celle-ci en D.

Démontrer que les triangles ABC et ADN sont semblables et calculer leur rapport de similitude.
\item Calculer les mesures des segments [DN] et [AD], en fonction de $a$.
\item Calculer les mesures des côtés du triangle CND en fonction de $a$ et les valeurs en degrés des angles de ce triangle.

À cet effet, on donne un extrait des tables trigonométriques:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angles en degrés&Tangentes\\ \hline
31& \np{0,6009}\\ \hline
32& \np{0,6249}\\ \hline
33& \np{0,6494}\\ \hline
34& \np{0,6745}\\ \hline
35& \np{0,7002}\\ \hline
36& \np{0,7265}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} Il est demandé de donner les résultats avec la précision de la minute d'angle. 

Pensez-vous, en examinant de près la table donnée, que l'incertitude du résultat est supérieure à une minute?
\end{document}