\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P{}.C.},
pdftitle = {juin 1971},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Dijon}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Dijon~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre faut-il ajouter à l'expression $9x^2 + 30x$
pour obtenir le développement du carré d'un binôme du premier degré ?

Quel est ce binôme ?
		\item Utiliser ce résultat pour mettre sous forme d'un produit
de facteurs du premier degré le polynôme :

\[A(x) = 9x^2 + 30x + 9.\]

		\item Quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $A(x)$ est nul ? 
	\end{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré
l'expression :

\[B(x) = 5\left(x^2- 4\right) - x^2 + 4x - 4 +(6- 3x)(x + 3).\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier la fraction : $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$
en précisant pour quelles valeurs de $x$ cette simplification est légitime.
		\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $F(x) = 3$ ? Laquelle ?
		\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $F(x) = \dfrac{24}{5}$.
		\item Calculer $F\left(\sqrt{7}\right)$ et en donner une valeur approchée à $0,01$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un cercle de centre O, de rayon $R$, dont [AB] est un diamètre, C un point du segment [OB].

Une sécante MM$'$ passant par C forme avec (AB) un angle $\widehat{\text{BCM}} = 45\degres$.

La perpendiculaire menée de M$'$ sur (AB) coupe AB en H et le cercle en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{MOP}}$ et $\widehat{\text{MCP}}$ sont droits,
\item Soit Q le point tel que le quadrilatère OMQP soit un carré.

Montrer que le cercle circonscrit à ce carré passe par C.

Déterminer son centre I et évaluer son rayon $r$ en fonction de $R$.
\item Quelle est la position de la droite (CQ) par rapport à (AB).

Le segment [CQ] coupe le cercle en K.

Démontrer que : CA $\cdot$ CB $= \text{CK}^2$

\phantom{Démontrer}et que : CM $\cdot$ CP $= \text{CK}^2$.

Déduire de ce qui précède la similitude des triangles CMK et CKP.
\item Calculer CK dans l'hypothèse où C divise [AB] dans le rapport 2 :

\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}  = 2.\]

\item On trouve $\text{CK} = \dfrac{2\text{R}\sqrt{2}}{3}$.

La mesure de $R$ à l'aide d'une règle graduée est 3,2~cm, avec une incertitude inférieure à 0,5~mm \:($3,15 < \text{R} < 3,25$).

Calculer une valeur approchée de la mesure CK avec une incertitude qu'on évaluera soi-même.
\end{enumerate}
\end{document}