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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lfoot{\small{Dijon}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Dijon juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produit de facteurs du premier degré les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&\left(9x^2 - 4\right)(13x + 12) - 45x^3  - 60x^2 - 20x\: \text{et}\\
B(x) &=&(x + 1)(3x + 2) - \left(2 - 2x^2\right)(3x + 2).
\end{array}\]

\item Soit $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ la fraction $F(x)$ est-elle définie ?
		\item Simplifier $F(x)$.
	\end{enumerate}
\item On trouve $F'(x) = \dfrac{24(x - 1)}{2x - 1}$.

Pour quelles valeurs de $x$ cette fraction est-elle définie ?
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles les deux
termes de $F'(x)$ sont positifs.
		\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles les deux
termes de $F'(x)$ sont négatifs,
		\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $F'(x)$ est
positive.
		\item Calculer la valeur numérique de $F'(x)$ pour $x = \dfrac{\sqrt 3}{2}$.

On donnera le résultat sous la forme d'un rapport ayant le dénominateur rationnel, puis on en calculera une valeur approchée à $0,01 près$ par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un demi-cercle de diamètre AB $= 2R$.

Soit M le point du segment [AB]tel que $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}} = 3$.

La perpendiculaire à (AB) menée de M coupe le demi-cercle en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $R$, les longueurs MA, MB, CA, CB et CM.
\item Soit D le point du segment [CA] tel que CD $= \dfrac{R}{2}$.

Calculer la longueur DB en fonction de $R$, puis les mesures
des angles aigus du triangle (CDB).
\item La droite (BD) recoupe le demi-cercle en E.

Démontrer que les triangles (DCB) et (DEA) sont semblables.

Quels sont les côtés homologues ?

On prend respectivement sur les demi-droites définies
par les vecteurs $\vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{BC}}$, des segments [BP] et [BQ] dont les mesures respectives sont celles des segments homologues, [AD] et [AE].

Les supports de [CD) et de [PQ] sont-ils parallèles ?
\end{enumerate}
\end{document}