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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
A&=&(1,2x- 2,5)(1,2x + 2,5) ; \\
B &=&(1,2 x - 2,5)^2 ;\\
C&=&\left(1,44x^2 - 6,25\right)+ (1,2x - 2,5)(0,8 x - 3) ;\\
D&=& (1,44x^2- 6x + 6,25) - \dfrac{1}{10}(1,2x - 2,5)(2 x +5).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A$ et $B$.
\item Mettre $C$ sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.
\item Mettre $D$ sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $f$ la fonction rationnelle de la variable réelle $x$ donnée par
\[f(x) = \dfrac{2x - 0,5}{x - 3}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, si elles existent, les images par $f$ des réels suivants:
\begin{center}$\dfrac14$ ;\quad  3 \quad et \quad $-2,5$.\end{center}
\item Calculer $f(\np{3,3125})$. Le nombre $f(\np{3,3125})$ est-il un nombre décimal ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R \times \R$, le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x - y &=& 0,5 ;\\
x - y &=&3.
\end{array}\right.\]

\item Soit $g$ et $h$ les fonctions de $\R$ dans $\R$ données par
\begin{center}$g(x) = 2x - 0,5$\quad  et \quad $h(x) = x - 3$.\end{center}

Représenter graphiquement les fonctions $g$ et $h$ dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes O$x$ et O$y$ (unité = 1~cm).
\item Utiliser la représentation graphique précédente pour résoudre, dans $\R$, les inéquations suivantes :
\[2x  -0,5 > 0,\qquad 2x - 0,5 < 0 ;\\
0 < x - 3,\qquad  0 > x - 3.\]

\item Représenter graphiquement dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} précédent la fonction $p$ de, $\R$ dans $\R$, donnée par
\[p(x) = |h(x)| + |g(x)|.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Faire une figure (unité : 1~centimètre).

Dans un plan rapporté au repère orthonormé
\Oij, on donne les points A, B, C tels que

\[\vect{\text{OA}} = -3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath} ;\qquad  \vect{\text{OB}} = -\vect{\imath} + \vect{\jmath} ;\qquad 3\vect{\text{BC}} = 2\vect{\text{AC}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point C.
		\item Montrer que les points A, B et C sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Soit le point D tel que $\vect{\text{OD}} = \dfrac92\vect{\imath} + \dfrac52\vect{\jmath}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{DA}},\: \vect{\text{OC}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

Montrer que le triangle (A, D, C) est rectangle et isocèle.
		\item Calculer les coordonnées du milieu M de (A, C).
		
Montrer que $\vect{\text{MA}} = 3\vect{\text{MB}}$.
	\end{enumerate}
\item Par le point B, on mène la droite ($\Delta$) parallèle à la droite (AD).

($\Delta$) coupe la droite (MD) en E et la droite (OC) en I.

Par le point E, on mène la droite ($\Delta'$) parallèle à la droite (DC).

($\Delta'$) coupe la droite (AC) en B$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que M est le milieu de (B, B$'$) et que la
droite (DE) est la médiatrice du segment [BB$'$].
		\item Montrer que
\begin{center}
\begin{tabular}{l}
$\bullet~~$$3\vect{\text{CI}} = 2\vect{\text{CD}}$ \quad et \quad $3\vect{\text{CB}'} = 2\vect{\text{CM}}$.\\
$\bullet~~$les droites (B$'$ I) et (MD) sont parallèles.\\
$\bullet~~$Le triangle (C, I, B) est rectangle et isocèle.
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}