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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1984}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

%\textbf{Exercice 1}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calcul numérique :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $1,2 \times (0,75 - 4,9)$.
		\item Mettre sous forme d'une fraction irréductible $\dfrac{\dfrac12 + \dfrac13}{\dfrac14 - \dfrac15}$.
		\item Simplifier l'écriture de $3\sqrt{20} - \sqrt 5 + \sqrt{45}$.
	\end{enumerate}	
\item  $x$ est un nombre réel, on pose :

\begin{center}$A = (2x - 3)^2$\quad  et \quad $B = \left(x + \dfrac12\right)^2
$\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Mettre $D = A - B$ sous la forme d'un produit de facteurs 
		\item Calculer $D$ pour $x = - \dfrac12$  et pour $x = \sqrt 2$.
		\item Déterminer $x$ pour que $A = 4B$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

L'unité est le centimètre. 

Soit un carré ABCD dont la longueur du côté est 4.

On appelle M le milieu du segment [BC].

La droite (AM) coupe la droite (DC) en N.

La droite perpendiculaire en A à la droite (AM) coupe la droite (DG) en Q, et la droite (BC) en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que :

\begin{center}$\dfrac{\text{QD}}{\text{DC}}= \dfrac{\text{QA}}{\text{AP}}, \: \dfrac{\text{QA}}{\text{AP}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{BP}}$\quad puis que \quad $\dfrac{\text{QD}}{\text{DC}}= \dfrac{\text{CB}}{\text{BP}}$\end{center}

En déduire que QD $\cdot$ BP $= 16$.



En déduire
\item Démontrer que le point M est le milieu du segment [AN]. En déduire que le point C est le milieu du segment [DN].
\item Calculer: AM et AN.

Dans le triangle rectangle AND, calculer $\cos \widehat{\text{AND}}$, de même dans le triangle
AQN, calculer $\cos \widehat{\text{ANQ}}$.

Calculer QN, QD et AQ.
\item En utilisant des résultats obtenus dans les questions 1. et 3., calculer PB.
\end{enumerate}
\end{document}