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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Résoudre l'équation $x\sqrt 2 - \sqrt 8 = 0$ et montrer
que sa solution est un nombre entier.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme $a + b \sqrt 3$, $a$ et $b$ étant des nombres entiers, le  nombre $D = \left(5 - 3 \sqrt 3\right)^2$.

Sachant que $1,7 < \sqrt 3 < 1,8$, montrer que $D$ vérifie $0 < D < 1$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit ABCD un rectangle tel que AB $= 12$ et AD $= 7$.

On appelle M un point du côté [AB] et on pose AM $= x$.

Calculer la valeur de $x$ pour que l'aire du triangle AMD soit le tiers de celle du rectangle ABCD.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\bigskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Soit ABC un triangle rectangle en B, tel que BA $= 8$ et BC $= 6$. On appelle M le milieu du segment [AC] et N le milieu du segment [AM].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item La parallèle à la droite (BC), passant par M, coupe la droite (BA) en S ; la parallèle à la droite (BC), passant par N, coupe la droite (BA) en P.

AP Calculer AS et $\dfrac{\text{AP}}{\text{AB}}$.
\item Construire le point C$'$ symétrique du point C par
rapport à la droite (AB). 

La droite (NP) coupe la droite (AC$'$) en N$'$.

Démontrer que N$'$ est le symétrique de N par rapport à la droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

Un voyageur effectue chaque année plusieurs fois
un même trajet aller-retour. 

La SNCF lui propose deux possibilités :

\begin{itemize}
\item \og PLEIN TARIF \fg{} : le voyageur paye chaque voyage aller-retour $250$ francs.
\item \og DEMI-TARIF \fg{} : le voyageur achète une carte \og demi-tarif\fg{} valable toute
l'année au prix de $800$ francs et paye chaque voyage aller-retour $125$~francs.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $x$ le nombre de voyages aller-retour que le voyageur effectue par an.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$, le coût $y_1$ de $x$ voyages \og plein tarif \fg.
		\item Exprimer en fonction de $x$, le coût $y_2$ de $x$ voyages \og demi-tarif\fg{} (en tenant compte du prix d'achat de la carte).
	\end{enumerate}	
\item Soit les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$, définies par

\[f(x) = 250x \qquad g(x) = 125x + 800.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0),\: g(0),\: f(4),\: g(8)$.
		\item Représenter dans un même repère les applications $f$ et $g$ en se servant des résultats des calculs précédents et en choisissant les unités de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses 1 cm correspond à 1 ;
\item sur l'axe des ordonnées 1 cm correspond à $200$.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item Utiliser le graphe précédent pour trouver le nombre minimum de voyages qu'il faut faire pour que l'achat d'une carte \og demi-tarit\fg{} soit avantageux pour le voyageur.
\item Résoudre l'inéquation $125x + 8 < 250x$ retrouver le résultat précédent.
\end{enumerate}
\end{document}