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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1957}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit l'équation

\[(1)\qquad  my + (m - 1)x = m - 2.\]

Pour une valeur numérique de $m$, elle représente une droite $D$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $m$ pour que cette droite passe par le point A de coordonnées (1~;~1).

Quelle est l'équation de la droite correspondante ?

Tracer cette droite.
\item Montrer que toutes les droites définies par l'équation (1) passent par le point B de coordonnées $(2~;~-1)$.
\item Déterminer $m$ pour que $D$ soit parallèle à l'axe des abscisses.

Déterminer $m$ pour que $D$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.

Déterminer $m$ pour que $D$ soit la droite (OB).
\item Déterminer $m$ pour que D passe par le point de coordonnées $(a~;~b)$.

Discuter et en déduire à nouveau que toutes les droites $D$ passent par le point B lorsqu'on donne à $m$ toutes les valeurs possibles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre O et de rayon $R$.

Soient [AB] un diamètre fixe et C un point variable sur le cercle.

On prolonge [BC] au delà de C d'une longueur  CD = BC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lieu de D lorsque C décrit le cercle $\mathcal{C}$.

Le tracer avec soin.
\item Montrer que (AD) passe par le point C$'$ symétrique
de C par rapport à (AB) lorsque l'angle $\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$.
\item Si BC $= R\sqrt 3$, calculer l'aire du quadrilatère OCDA.
\item C ayant à nouveau une position quelconque sur le cercle $\mathcal{C}$, calculer la longueur des côtés du triangle ABC en fonction de $R$ et de $\alpha = \widehat{\text{ABC}}$, puis l'aire  du quadrilatère OCDA.

Pour quelle valeur de $\alpha$ cette aire a-t-elle la plus grande valeur possible ?

Quelle est alors sa valeur ?
\end{enumerate}
\end{document}