\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=2cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%%%%%%%
\def\landscape{%
\clearpage
\setlength\paperwidth{297mm}
\setlength\paperheight{210mm}
\setlength\pdfpagewidth\paperwidth
\setlength\pdfpageheight\paperheight
}
\def\endlandscape{%
\clearpage
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\pdfpagewidth\paperwidth
\setlength\pdfpageheight\paperheight
}
%%%%%%%
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Dijon juin 1990},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1990}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$x$ est un nombre.

Soit $E = (3x-4)(x+3) + (3x-4)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $(3x-4)$ en facteur dans $E$.
\item Résoudre l'équation $(3x - 4)(4x-1) = 0$.
\item Développer $E$ et écrire le résultat sous forme simplifiée.
\item Calculer $E$ pour $x = \dfrac23$ (on écrira le résultat sous forme fractionnaire).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère 

\[B = \sqrt{26} \times \sqrt 6 \:;\qquad  C = \sqrt{26} \times \sqrt 6 - 3\sqrt 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $B$ sous forme du produit d'un nombre entier par $\sqrt 2$.

Faire de même pour $C$.
\item Une calculatrice affiche \np{1,4142135} pour $\sqrt 2$.

En déduire un encadrement de $6\sqrt 2$ par deux entiers consécutifs.

(c'est-à-dire : écrire $6\sqrt 2$ entre un entier et le suivant de ce nombre entier).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

Pour les exercices 1 et 2, l'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le schéma ci-contre représente :
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.63\linewidth}
\begin{itemize}
\item un parallélogrammeABCE tel que AB $= 5$ ; AE $= 3,5$ ; la mesure de l'angle de sommet A du parallélogramme est $80\degres$ ;
\item un arc de cercle de centre C et d'extrémités B et D.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.4,3.2)
\pspolygon(0.9,0.2)(4.1,0.2)(3.5,2.9)(0.3,2.9)%ECBA
\psarc(4.1,0.2){2.2}{102}{180}
\uput[ul](0.3,2.9){A} \uput[ur](3.5,2.9){B} \uput[dr](4.1,0.2){C} \uput[d](1.9,0.2){D} \uput[dl](0.9,0.2){E} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

En utilisant une règle graduée, un rapporteur et un compas, mais sans utiliser l'équerre, construire la figure en vraie grandeur.

\emph{Ne pas donner d'explications mais laisser les constructions intermédiaires}.
\begin{enumerate}[resume]
\item Tracer très soigneusement, sur le dessin demandé à la question précédente, la figure symétrique du parallélogramme ABCE par la symétrie de centre D. 

On appellera X le symétrique de A, B$'$ celui de B, C$'$ celui de C, E$'$ celui de E.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Ce parallélépipède rectangle (voir figure ci-après) a pour base le carré EFGH, pour hauteur le segment [BF].

On donne HG $= 4$ ; BF $= 3$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4)
\psframe(0.2,0.2)(3,2.3)%GFBC
\psline(3,0.2)(4.1,1.3)(4.1,3.4)(3,2.3)%FEAB
\psline(4.1,3.4)(1.3,3.4)(0.2,2.3)%ADC
\psline(4.1,3.4)(3,0.2)%AF
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.3,1.3)(1.3,3.4)%GHE
\psline[linestyle=dashed](4.1,3.4)(1.3,1.3)(4.1,1.3)%AHE
\psline[linestyle=dashed](1.3,1.3)(3,0.2)%HF
\uput[ul](4.1,3.4){A} \uput[r](3,2.3){B} \uput[l](0.2,2.3){C} \uput[u](1.3,3.4){D} \uput[r](4.1,1.3){E} \uput[d](3,0.2){F} \uput[d](0.2,0.2){G} \uput[l](1.3,1.3){H}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item On considère la pyramide ayant pour base le triangle EFH et pour hauteur [AE].

Calculer le volume de cette pyramide. 

\emph{Rappel} : $V = \dfrac{B \times h}{3}$ avec $B$ : aire de base ; $h$ :  hauteur.
\item Calculer les distances AF{}, HF et AH.
\item Le triangle AHF est-il rectangle? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que

AB $= 6$ ; BC $= 4,8$ et AC $= 3,6$.

Expliquer vos constructions.
\item Le cercle de centre A et de rayon AC coupe le segment [AB ] en D. 

La droite (AC) coupe le cercle en C et en un autre point E.

Démontrer que CDE est un triangle rectangle.
\item M est le milieu du segment [ED].

Démontrer que les droites (AM) et (CD) sont parallèles.
\item La droite (AM) et la droite (CB) sont sécantes en H.

En prenant BC $= 2,4$, calculer BH.
\end{enumerate}
\end{document}