\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Dijon juin 1991},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1991}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

Les trois exercices sont indépendants

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $, B, C$ et donner chaque résultat sous la forme exacte la plus simple possible :

$A = \dfrac35 - \dfrac17 \times \dfrac{21}{9}- \dfrac{12}{20}$

$B  = \left(2^2 \times  5 - 10\right)^2- (2 - 5)^2$

$C = 3\sqrt 3 +3\sqrt{12} - 2\sqrt{75}$.

\item Soit $E = (2x + 5)^2 - 5(2x + 5)$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E$.
		\item Mettre $E$ sous la forme d'un produit de facteurs.
		\item Résoudre l'équation $2x(2x + 5) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Ce dessin représente deux terrains rectangulaires:

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(5.2,2.3)
\psframe(0,0.2)(2.5,1.3)
\psline(2.5,1.3)(4.6,1.3)(4.6,0)(2.5,0)(2.5,0.2)
\rput(1.25,0.75){$S_1$}\rput(3.55,0.65){$S_2$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,1.5)(2.5,1.5)\uput[u](1.25,1.5){\small $x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,1.9)(4.6,1.9)\uput[u](2.3,1.9){\small $92$~m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.8,1.3)(4.8,0)\uput[r](4.8,0.75){\small 25 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.3,0)(2.3,0.2)\uput[l](2.3,0.1){\small 4 m}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Écrire en fonction de $x$ les aires $S_1$ et $S_2$ dans chaque parcelle.
		\item Calculer $x$ pour que les aires $S_1$ et $S_2$ soient égales.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\emph{L'unité de longueur est le centimètre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire en vraie grandeur le triangle ABC rectangle en C tel que AB $= 8$ et
$\widehat{\text{BAC}} =  30\degres$.

Placer le point O milieu du segment [AB].
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.2)(2.5,2.5)
%\pscircle(0,0){2.4}
\pspolygon(2.4;0)(2.4;40)(2.4;180)%BCA
\psline(0,0.1)(0,-0.1)
\uput[d](-2.4,0){A} \uput[d](2.4,0){B} \uput[ur](2.4;40){C} \uput[d](0,0){O} 
\rput{-160}(2.4;40){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[resume,start=2]
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
\item  Exprimer le sinus de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ puis en déduire que la longueur BC est égale à 4.
\item Démontrer que le triangle OBC est équilatéral.
\item Soit E le point du segment [AB] tel que BE $= 3$. 

La parallèle à (AC) passant par E coupe (BC) en F{}.

Calculer la longueur BF{}.
\item Calculer la valeur exacte de EF{}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Un loueur de VTT (vélo tout terrain) affiche les tarifs suivants :
\begin{description}
\item[ ]Tarif 1 : $800$ F la semaine.
\item[ ]Tarif 2 : $60$ F l'heure.
\item[ ]Tarif 3 : Abonnement forfaitaire de $250$ F pour la semaine, auquel il faut ajouter $30$ F de l'heure.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Antoine envisage de louer un VTT $26$ heures dans la semaine.

Vincent envisage de louer un VTT $3$ heures chaque jour du lundi au vendredi inclus.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix à payer pour une semaine par Antoine pour chacun des 3 tarifs?
		\item Même question pour Vincent.
	\end{enumerate}	
\item On désigne par $x$ le nombre d'heures d'utilisation du VTT en une semaine.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le prix à payer pour le tarif 2
et pour le tarif 3. On les appellera respectivement $P_2$ et $P_3$.
		\item Résoudre l'inéquation $30x + 250 < 60x$.
		
À partir de quel nombre entier d'heures le tarif 3 est-il plus intéressant que le tarif~2 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal avec: 
		
en abscisses, 1 cm pour $2$~heures,

en ordonnées, 1 cm pour $100$~F{}.

L'origine est en bas à gauche de la feuille.

Tracer dans ce repère :

la droite $D_1$ d'équation $y = 800$

la droite $D_2$ d'équation  $y = 60x$

la droite $D_3$ d'équation $y = 30x + 250$.
		\item En utilisant ces représentations graphiques, indiquer quel est le tarif le plus intéressant pour une location de :
\begin{itemize}
\item $4$ heures par semaine.
\item $15$ heures par semaine.
\item $26$ heures par semaine.
\end{itemize}
\item Les droites $D_1$ et $D_3$ sont sécantes en A.

Déterminer, par le calcul, les coordonnées de ce point A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}