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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1993}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Toutes les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres $A$ et $B$. Donner chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\[A = \dfrac74 - \dfrac25 \times \dfrac78 \qquad B = \dfrac{15}{16} : \dfrac94 + \dfrac{1}{12}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le nombre $C$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
		
		\[C = \sqrt{75}  - 2\sqrt{48}  + 3\sqrt{12}.\]
		
		\item Montrer que le nombre $D$ est un nombre entier.
		
		\[D = \left(2\sqrt 2 + 2\right)\left(3\sqrt 2 - 3\right)\]
	\end{enumerate}
\item Soit $E = (2x- 3)^2- (5x - 9)(2x - 3)$
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E$.
		\item Mettre $E$ sous la forme d'un produit de facteurs.
		\item Calculer la valeur de $E$ lorsque $x$ est égal à $\dfrac32$.
		\item Résoudre l'équation $(2x - 3)(3x - 6) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Un enclos a la forme d'un carré. Son aire est de \np{2500}~m$^2$. 

Son propriétaire décide de l'agrandir. Pour cela il augmente chaque côté de dix mètres. 

Calculer le périmètre et l'aire du nouvel enclos.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\emph{Toutes les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ABC est un triangle rectangle en A. On sait que AB $= 4$ ,8 et BC $= 8$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
%\psgrid
\rput{15}(1,0.2){\pspolygon(0,0)(0,1.9)(3.4,1.9)\psframe(0,1.9)(0.2,1.7)}
\uput[l](0,0.2){B}\uput[l](0.5,2.01){A}\uput[r](3.8,2.9){C}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer AC.
		\item Calculer $\cos \widehat{\text{ABC}}$. 

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ un degré près par défaut.

On pourra utiliser le tableau :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline

angle  (degré)&35 &36 &37 &38 &52 &53 &54 &55\\ \hline
cosinus &0,819 &0,809 &0,797 &0,788 &0,616 &0,602 &0,588 &0,574\\ \hline
sinus &0,574 &0,588 &0,602 &0,616 &0,788 &0,797 &0,809 &0,819\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Pour cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle PQR tel que :
		
PQ $= 5$~cm, PR $= 6$~cm et QR $= 7$~cm.
		\item Placer le point M du segment [PQ] tel que PM $= 3$~cm.
		\item Tracer la parallèle à la droite (QR) passant par le point M.

Elle coupe le segment [PR] au point N. 

Calculer la distance PN.
	\end{enumerate}
\item  Le plan est muni d'un repère orthonormé. (unité de longueur : 1 cm)
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C de coordonnées respectives $(-4~;~2)$, $(2~;~-3)$ et (7~;~3).
		\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{CA}}$  et $\vect{\text{BC}}$ (soit par une lecture directe sur la figure, soit par le calcul).
		\item Calculer la longueur BC.
		
Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal le point B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Dans une salle de cinéma, le prix du billet pour assister à une projection est de $40$ francs.

L'exploitant propose deux types d'abonnements annuels possibles.

Abonnement A : après avoir acheté $100$ francs une carte d'adhésion, le client bénéficie d'une remise de 25\,\%sur le prix de chaque billet.

Abonnement B : après avoir acheté $300$ francs une carte d'adhésion, le client paie chaque billet moitié-prix.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix du billet que devra acquitter à chaque séance un spectateur ayant choisi l'abonnement A ?
		\item Répondre à la même question pour un spectateur ayant choisi l'abonnement B.
	\end{enumerate}	
\item Monsieur Gérard, Mademoiselle Julie et Madame Paulette ont déjà assisté cette année à treize séances de cinéma.
	\begin{enumerate}
		\item Monsieur Gérard n'avait pas prix d'abonnement. Combien a-t-il payé au total ?
		\item Mademoiselle Julie avait choisi l'abonnement A. Combien a-t-elle payéautotal?
		\item Madame Paulette avait choisi l'abonnement B. Combien a-t-elle payé au total ?
	\end{enumerate}
\item On désigne par $x$ le nombre de séances auxquelles Monsieur Gérard, Mademoiselle Julie ou Madame Paulette vont assister cette année. Exprimer, en fonction de $x$, la somme que chacune de ces trois personnes aura dépensée au total.
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal avec : en abscisses 1 cm pour une unité,
en ordonnées 1 cm pour $50$ unités.

(L'origine est prise en bas et à gauche de la feuille, comme indiqué
sur le schéma)
	\begin{enumerate}
		\item Tracer dans ce repère les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ d'équations respectives : 
\[\begin{array}{l}
y = 40x\\
y = 30x + 100\\
y = 20x + 300\\
\end{array}\]

		\item En utilisant le graphique :
		
\begin{itemize}
\item indiquer le choix du tarif le plus avantageux, si on assiste pendant l'année à :

5 séances de cinéma,

13 séances de cinéma,

22 séances de cinéma.
\item dire à partir de combien de séances l'abonnement B est le plus intéressant.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(10,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(1,1)(9,3)
\uput[d](8.7,1){$x$}\uput[l](1,2.8){$y$}\uput[dl](1,1){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%Repère



















\end{document}
